Секанс — тригонометрическая функция¶

Секанс (лат. secans, «секущий») — одна из основных тригонометрических функций, определяемая как отношение гипотенузы к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике или как обратная величина косинуса. Обозначается sec и входит в стандартный набор функций, изучаемых в школьном курсе математики и в высшей математике. Вместе с косекансом (cosec) и котангенсом (cot) секанс относится к числу функций, выведенных из основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса) и в современном обучении используется реже, чем они.

¶Определение

Для угла α в прямоугольном треугольнике секанс определяется как:

sec α = гипотенуза / прилежащий катет = 1 / cos α

Последнее равенство является основным аналитическим определением секанса и позволяет вычислять его значение для любого угла, косинус которого не равен нулю. Секанс не определён при cos α = 0, то есть при углах вида α = π/2 + πn, где n — целое число. В этих точках функция имеет вертикальные асимптоты.

¶Свойства

Секанс обладает следующими основными свойствами:

• Чётность: sec(−α) = sec α, то есть функция является чётной, как и косинус, обратная величина которого она является.
• Периодичность: период секанса равен 2π, как и у косинуса.
• Значения: |sec α| ≥ 1 для всех определённых точек, поскольку |cos α| ≤ 1. Секанс принимает значения из двух промежутков: (−∞, −1] и [1, +∞).
• Основное тригонометрическое тождество: 1 + tan²α = sec²α — одно из трёх фундаментальных тождеств, связывающих квадраты основных функций. Оно выводится из тождества sin²α + cos²α = 1 делением на cos²α.
• Производная: (sec x)' = sec x · tg x.
• Интеграл: ∫ sec x dx = ln|sec x + tg x| + C.

¶Таблица значений

¶График

График функции y = sec x состоит из бесконечного числа несвязанных ветвей, каждая из которых расположена между двумя соседними вертикальными асимптотами x = π/2 + πn. Ветви, находящиеся вблизи чётных кратных π (то есть при cos x > 1), имеют минимум на уровне y = 1, а ветви при cos x < 0 — максимум на уровне y = −1. График симметричен относительно оси ординат, что отражает чётность функции.

¶Применение

Секанс находит применение в нескольких областях:

• Геометрия и тригонометрия: в задачах на вычисление длин сторон и углов прямоугольных треугольников, а также в доказательстве тригонометрических тождеств.
• Аналитическая геометрия: секанс и косеканс используются при описании координат точек на единичной окружности и при построении касательных.
• Физика и инженерия: в задачах, связанных с проекциями векторов и декомпозицией сил, где удобно оперировать обратными величинами косинуса.
• Навигация и астрономия: исторически секанс применялся в триангуляции и вычислениях, связанных с определением расстояний по известным углам.
• Высшая математика: в интегрировании, в частности при выведении интегралов вида ∫ dx/cos x, а также при разложении ряда Тейлора.

¶Историческая справка

Термин «секанс» происходит от латинского secare — «резать», «секущий»: в геометрической традиции секанс рассматривался как длина отрезка, отсекаемого касательной к окружности. Функция sec была введена в математику в XVI веке — в частности, она встречается в трудах итальянского математика Реджиомонтана (Иоганна Мюллера) и в работах Франсуа Виета, который использовал секанс и косеканс в своих трудах по тригонометрии. В русской математической традиции термин закрепился в XIX веке в трудах Н. И. Лобачевского и других отечественных учёных.

¶Смежные понятия

Секанс тесно связан с косекансом (cosec α = 1/sin α) и котангенсом (cot α = cos α/sin α). Все три функции являются обратными к основным тригонометрическим функциям и удовлетворяют аналогичным тождествам. В частности, для косеканса верно 1 + cot²α = cosec²α. Совокупность шести тригонометрических функций (sin, cos, tg, cot, sec, cosec) образует замкнутую систему, в которой каждая функция может быть выражена через любую другую.

Источники:

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Иродов И. Е. Задачи по общей физике (применение тригонометрических функций).
• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике.
• Виет Ф. Введение в аналитическое искусство (1591).