Полином — алгебраическое выражение¶
Полином (от греч. πολύ — много и νόμος — закон, правило) — алгебраическое выражение, состоящее из слагаемых, каждый из которых является произведением числовой константы на конечное число переменных, возведённых в целые неотрицательные степени. Полиномы являются одним из фундаментальных понятий алгебры и математического анализа и образуют важнейший класс алгебраических структур — колец многочленов.
¶Общие сведения
Полином (многочлен) от одной переменной $x$ степени $n$ имеет вид:
$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,$$
где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — коэффициенты, $a_n \neq 0$, а $n$ — целое неотрицательное число, называемое степенью полинома. Слагаемое $a_n x^n$ называется старшим, а коэффициент $a_n$ — старшим коэффициентом. Число $a_0$ называется свободным членом.
Полином от нескольких переменных $x_1, x_2, \dots, x_k$ — это сумма слагаемых вида $c \cdot x_1^{m_1} x_2^{m_2} \dots x_k^{m_k}$, где $c$ — число, а показатели степеней $m_i$ — целые неотрицательные. Степенью такого полинома называется наибольшая сумма показателей степеней в одном слагаемом.
Если все коэффициенты полинома равны нулю, полином называется нулевым. Степень нулевого полинома по определению принимается равной $-\infty$ (или не определяется), что позволяет корректно формулировать свойства степени при умножении.
¶Кольцо многочленов
Множество всех полиномов от одной переменной с коэффициентами из кольца $K$ (например, из поля действительных или комплексных чисел) образует кольцо $K[x]$, в котором определены операции сложения и умножения по стандартным правилам:
- сложение полиномов выполняется покомпонентно по степеням;
- умножение — по правилу распределения, при котором степени слагаемых перемножаются, а коэффициенты одноимённых степеней суммируются.
Кольцо $K[x]$ является евклидовым кольцом, если $K$ — поле, что позволяет применять алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух полиномов и доказывать их взаимную простоту.
¶Классификация
По числу переменных полиномы делятся на:
- одночлены (мономы) — полиномы, состоящие из одного слагаемого, например $5x^3$ или $-2xy^2$;
- многочлены в собственном смысле — суммы двух и более одночленов.
По степени полиномы от одной переменной классифицируют так:
| Степень | Название | Пример |
|---|---|---|
| 0 | постоянная | $7$ |
| 1 | линейный | $3x + 2$ |
| 2 | квадратичный | $x^2 - 5x + 6$ |
| 3 | кубический | $2x^3 + x - 1$ |
| $n$ | полином степени $n$ | $x^n + 1$ |
¶Разложение на множители
Любой полином от одной переменной над полем комплексных чисел может быть разложен на линейные множители (основная теорема алгебры): если $P(x)$ имеет степень $n \geq 1$, то оно представляется в виде
$$P(x) = a_n (x - x_1)(x - x_2)\dots(x - x_n),$$
где $x_1, \dots, x_n$ — корни полинома с учётом кратности. Над полем действительных чисел разложение содержит линейные множители и неприводимые квадратичные трёхчлены.
Разложение на множители применяется для решения алгебраических уравнений, вычисления интегралов методом разложения на простейшие дроби и анализа поведения функций.
¶Применение
Полиномы встречаются практически во всех разделах математики и смежных наук:
- Алгебра и теория чисел: решение уравнений, разложение на множители, изучение корней.
- Математический анализ: ряды Тейлора и Маклорена, с помощью которых гладкие функции аппроксимируются полиномами; полиномы Лагранжа и Ньютона для интерполяции.
- Численные методы: метод наименьших квадратов, сплайны, полиномиальная интерполяция, аппроксимация функций.
- Компьютерная графика: кривые Безье и кривые B-сплайны, описываемые полиномами, используются для моделирования поверхностей.
- Физика и инженерия: полиномиальные модели уравнений состояния, характеристические полиномы матриц и линейных операторов.
¶История
Понятие многочлена складывалось постепенно. Вавилонские и египетские математики решали квадратные уравнения задолго до появления общей символики. Первоначально полиномы рассматривались как числовые выражения, а не как самостоятельные объекты. Систематическое использование алгебраической символики для полиномов появилось в трудах Франсуа Виета (XVI век) и было развито Рене Декартом, введшим понятие координат и связь между алгеброй и геометрией. В XVII–XVIII веках работами Исаака Ньютона, Леонарда Эйлера и Жозефа Лагранжа были разработаны методы разложения полиномов, интерполяции и алгебраического анализа корней. В XIX веке Эварист Галуа создал теорию, связывающую корни полиномов с группами перестановок, что заложило основы современной абстрактной алгебры.
¶Интересные факты
- Полиномы степени не выше четырёх имеют общие формулы корней, выражающиеся через коэффициенты и арифметические операции. Для степеней пять и выше, согласно теореме Абеля — Руффи — Ньютон, общая формула через радикалы не существует.
- Полиномиальные кривые Безье были предложены французским инженером Пьером Безье в 1960-х годах для проектирования кузовов автомобилей на заводах Renault и Citroën.
- Понятие «полином» используется в теории кодирования: циклические кода и кода Рида — Соломона описываются полиномами над конечными полями.
Источники:
- Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
- Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры.
- Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Том 1.
- Винберг Э. Б. Курс алгебры.
- Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.