Эллипсоид — вращение эллипса вокруг оси¶

Эллипсоид — замкнутая квадратичная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве, получаемая вращением эллипса вокруг одной из его осей или описываемая уравнением вида x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1, где a, b, c — положительные полуоси. Эллипсоид относится к классу выпуклых центральных поверхностей второго порядка и является обобщением сферы: при равенстве всех трёх полуосей (a = b = c) он вырождается в шар.

¶Виды эллипсоидов

По соотношению полуосей различают три основные разновидности:

• Сфероид (эллипсоид вращения) — возникает, когда две из трёх полуосей равны. Если a = b ≠ c, эллипсоид получается вращением эллипса вокруг малой оси (облакообразная, или сжатая форма); если a = b > c — вокруг большой оси (вытянутая, или вытянуто-сферическая форма).
• Триосный (общий) эллипсоид — все три полуоси различны (a ≠ b ≠ c).
• Сфера — частный случай при a = b = c.

Сжатие сфероида характеризуется числом f = (a − c)/a, называемым динамическим (геодезическим) сжатием. Для Земли f ≈ 1/298,257.

¶Уравнение и геометрические свойства

В декартовой системе координат каноническое уравнение эллипсоида имеет вид:

x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1

Центр поверхности совпадает с началом координат, полуоси направлены вдоль координатных осей. Поверхность симметрична относительно трёх координатных плоскостей и начала координат. Пересечения эллипсоида с плоскостями, параллельными координатным, дают эллипсы (отсюда название). Главные сечения — эллипсы с осями, равными парам полуосей.

Объём эллипсоида вычисляется по формуле:

V = (4/3)πabc

Площадь поверхности общего триосного эллипсоида выражается через эллиптические интегралы и в элементарных функциях не задаётся. Для сфероида формула площади упрощается: при вытянутом сфероиде S = 2πa²(1 + (c²/(ea))·arcsin e), где e — эксцентриситет, при облакообразном — S = 2πa²(1 + (c²/(ea))·arsh e).

Эллипсоид — выпуклая поверхность: отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком лежит внутри. Каждое направление пересекает поверхность ровно двумя точками, а из любой точки наружу можно провести единственную плоскость касания.

¶Эллипсоид в аналитической геометрии

Эллипсоид относится к поверхностям второго порядка. Согласно классификации, он — единственная замкнутая (ограниченная) поверхность второго порядка, наряду с однополостным и двуполостным гиперболоидами, эллиптическим параболоидом и гиперболическим параболоидом. Эллипсоид допускает ровно три взаимно перпендикулярных оси симметрии, совпадающих с осями эллиптических сечений.

Любой эллипсоид можно привести к канонической форме поворотом системы координат. Полуоси a, b, c при этом определяются как квадратные корни из собственных значений матрицы квадратичной формы, соответствующей уравнению.

¶Эллипсоид вращения

Эллипсоид вращения (сфероид) получается вращением эллипса вокруг одной из его осей. Если вращение происходит вокруг малой оси, получается облакообразный (сжатый) сфероид, вокруг большой — вытянутый. Эллипсоид вращения описывается двумя параметрами: большой полуосью a и малой полуосью c.

Объём сфероида: V = (4/3)πa²c.

Семейство сфероидов с фиксированным объёмом и переменным сжатием используется в физике при описании деформации капель жидкости под действием вращения или электрического поля (модель Ландау — Лифшица для капли электролита).

¶Применение

¶Геодезия и география

Наиболее известное практическое применение эллипсоида связано с формой Земли. Земля не является точной сферой: вращение вокруг оси вызывает сжатие в полярных областях, в результате чего реальная форма ближе к облакообразному сфероиду. Для расчётов в геодезии и картографии используются специальные земные эллипсоиды, характеризующиеся большой полуосью a и сжатием f:

Эллипсоид Красовского долгое время был основой государственной геодезической сети СССР и России. Современная российская система координат ПЗ-90.11 и ГСК-2011 используют собственные параметры эллипсоида, близкие к WGS-84.

¶Физика и механика

В теории вращения жидкостей (Жан Лагранж, Пьер-Симон Лаплас) показано, что равновесная фигура однородной жидкости при медленном вращении — сфероид. Эллипсоидические формы принимают капли жидкости в электрическом поле (опыты Габера и Клейна). В квантовой механике ядра атомов в некоторых моделях описываются как эллипсоиды деформации.

¶Кристаллография и оптика

В кристаллографии индекс преломления кристалла зависит от направления: для двуосных кристаллов поверхность, изображающая преломление, является эллипсоидом (оптический индекс эллипсоид). Тензор диэлектрической проницаемости анизотропного тела геометрически представляется эллипсоидом.

¶Машиностроение и технологии

Эллипсоидальные зубчатые колёса (эллипсоидальные передачи) применяются в приводах для преобразования вращательного движения при переменном передаточном отношении. Эллипсоидные зеркальные поверхности используются в антеннах и светильниках.

¶История

Понятие эллипсоида как поверхности второго порядка сформировалось в трудах математиков XVII—XVIII веков. Термин «эллипсоид» закрепился в работах Жана-Филиппа де ла Шапеля и других аналитиков эпохи развития аналитической геометрии. Исследования формы Земли как сфероида связаны с именами Ньютона (1687), который предсказал сжатие при вращении, и Даламбера, Лежандра, Лапласа, разработавших аналитические методы теории равновесия жидкостей.

¶См. также

• Сфера
• Гиперболоид
• Параболоид
• Земной эллипсоид
• Сферические координаты

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
• Александров П. С., Лаврентьев М. А. Математика: её содержание, методы и значение
• Jeffrey A. An Introduction to Ellipsoids
• ГОСТ Р 51794-2008. Государственная геодезическая сеть
• Справочник по геодезии и картографии