Эллипсоид как поверхность вращения¶

Эллипсоид — замкнутая поверхность второго порядка, получаемая деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. В декартовой системе координат с центром в точке начала осей эллипсоид задаётся каноническим уравнением x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1, где a, b, c — положительные числа, называемые полуосями. Если все три полуоси равны, поверхность вырождается в сферу; если равны две из трёх — получается эллипсоид вращения. Эллипсоид относится к центральным поверхностям второго порядка, обладает тремя плоскостями симметрии и центром симметрии, совпадающим с началом координат.

¶Общие сведения и свойства

Эллипсоид — ограниченная поверхность: он целиком помещается внутри прямоугольного параллелепипеда со сторонами 2a, 2b, 2c. Объём тела, ограниченного эллипсоидом, вычисляется по формуле V = (4/3)·π·a·b·c. При a = b = c = R формула переходит в известное выражение для объёма шара (4/3)·π·R³.

Площадь поверхности эллипсоида в общем случае не выражается через элементарные функции и вычисляется с помощью эллиптических интегралов. Исключение составляет сфера, для которой S = 4πR².

Каждое плоское сечение эллипсоида является эллипсом (в частном случае — окружностью). Сечения, проходящие через центр, называются диаметральными; они симметричны относительно центра.

¶Классификация по соотношению полуосей

По соотношению длин полуосей различают три основных типа:

Сфероид, в свою очередь, делится на сплюснутый (полярная полуось короче экваториальной) и вытянутый (полярная полуось длиннее). Сплюснутый сфероид — распространённая модель формы небесных тел, включая Землю.

¶Эллипсоид вращения и форма Земли

Наиболее практически значим эллипсоид вращения. В геодезии и картографии поверхность Земли аппроксимируют так называемым земным эллипсоидом — сплюснутым сфероидом, у которого экваториальный радиус больше полярного примерно на 21 км. Параметры референц-эллипсоидов (например, Красовского, применявшегося в СССР и России) подбираются так, чтобы поверхность наилучшим образом совпадала с геоидом на территории конкретной страны.

Разность между экваториальной и полярной полуосями называется полярным сжатием и для Земли составляет около 1/298,3. Именно сжатие объясняет, почему геодезические измерения и спутниковая навигация требуют учёта эллипсоидальной формы планеты, а не сферической.

¶Применение

Эллипсоиды используются в самых разных областях:

• Геодезия и картография — моделирование фигуры Земли и других планет, построение координатных систем.
• Астрономия — описание формы вращающихся небесных тел, деформируемых центробежной силой.
• Физика и математика — решение задач теории потенциала, электродинамики, теории упругости; эллипсоид служит эталонной поверхностью для описания анизотропных сред.
• Компьютерная графика — построение трёхмерных моделей, задание областей видимости, сглаживание.
• Статистика — эллипсоиды рассеяния и доверительные области для многомерных нормальных распределений.

¶Родственные понятия

С эллипсоидом тесно связаны эллипс (плоская кривая, частями которой являются его сечения), гиперэллипсоид и n-мерный эллипсоид — обобщение на пространства произвольной размерности. В анализе и оптимизации рассматривают эллипсоиды, задаваемые квадратичными формами; их применяют в методах эллипсоидов для решения задач линейного программирования.

¶Интересные факты

• Поверхность эллипсоида — одна из немногих, для которых задача о геодезических линиях (кратчайших путях) имеет нетривиальное и до конца не выражаемое в элементарных функциях решение.
• Теорема Аполлония связывает эллипсоид с сопряжёнными диаметрами, обобщая свойства эллипса на трёхмерный случай.
• В архитектуре и дизайне эллипсоидальные оболочки применяются для создания прочных и экономичных конструкций — от куполов до резервуаров.

¶Источники

• Математическая энциклопедия.
• Курс аналитической геометрии (общие сведения о поверхностях второго порядка).
• Материалы по геодезии и теории фигуры Земли.
• Справочные данные по референц-эллипсоиду Красовского.