Дугласово пространство¶

Дугласово пространство — метрическое пространство, в котором расстояние между любыми двумя точками определяется как точная верхняя грань длин всех кусков путей, соединяющих эти точки. Термин назван в честь шотландского математика Джеймса Уитворта Ли Дугласа, предложившего в 1931 году конструкцию, ставшую классическим примером пространства, в котором замкнутые и ограниченные множества не являются компактными.

¶Историческая справка

Джеймс Ли Дуглас (1899—1975) в 1931 году опубликовал статью, в которой рассмотрел задачу о наименьшей площади поверхности, ограничивающей заданный объём. В ходе решения этой задачи он построил метрику на множестве точек куба, которая позднее получила его имя. Пример был включён в фундаментальный учебник «Topology» Джеймса Манкса (1966) и стал стандартным материалом курса общей топологии.

¶Определение

Пусть $(X,d)$ — метрическое пространство. Кривая (путь) в $X$ — это непрерывное отображение $\gamma\colon [a,b] \to X$. Длина кривой определяется как

$$L(\gamma) = \sup \sum_{i=1}^{n} d\bigl(\gamma(t_{i-1}), \gamma(t_i)\bigr),$$

где супремум берётся по всем разбиениям $a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b$.

Дугласова метрика $\rho$ на $X$ задаётся формулой

$$\rho(x,y) = \sup \{ L(\gamma) \},$$

где супремум берётся по всем кусочно-непрерывным кривым $\gamma$, соединяющим $x$ и $y$. Если точек, соединённых кривой, нет, то $\rho(x,y) = +\infty$. Метрика $\rho$ не меньше исходной метрики $d$: для любой кривой $L(\gamma) \ge d(\gamma(a),\gamma(b))$, поэтому $\rho \ge d$.

¶Пример: куб с дуговой метрикой

Классический пример строится на единичном кубе $[0,1]^3$ в евклидовом пространстве. Пусть $d$ — обычная евклидова метрика, а $\rho$ — дуговая метрика, определённая выше.

Возьмём замкнутое подмножество $A$, состоящее из трёх рёбер куба, исходящих из начала координат: отрезков $[0,1]\times\{0\}\times\{0\}$, $\{0\}\times[0,1]\times\{0\}$ и $\{0\}\times\{0\}\times[0,1]$. Множество $A$ замкнуто в $(X,\rho)$ и ограничено (в частности, $\rho \le 3$ для любых точек куба, поскольку куб связен и всякий путь имеет длину не более $3\sqrt{3}$).

Последовательность точек $x_n = (1/n, 1/n, 1/n)$ не имеет предельной точки в $A$: любая кривая, соединяющая $x_n$ с любой точкой $A$, должна пересекать поверхность, отделяющую $x_n$ от $A$, и её длина стремится к $2$ при $n \to \infty$. Таким образом, $A$ не является компактным в $(X,\rho)$, хотя в исходном евклидовом пространстве оно компактно.

¶Свойства

• Метричность. Дугласова метрика $\rho$ удовлетворяет аксиомам метрики (с точностью до допущения, что пространство связно; в противном случае расстояние между точками разных компонент связности равно бесконечности).
• Топология. Топология, порождённая $\rho$, совпадает с исходной топологией $d$ на связном пространстве: шары радиуса $\varepsilon$ в метрике $\rho$ содержат шары радиуса $\varepsilon$ в метрике $d$ и, наоборот, для любого $d$-шара существует $\rho$-шар, содержащий его.
• Компактность. Компактность в метрике $\rho$ строго сильнее компактности в метрике $d$: любое $\rho$-компактное множество является $d$-компактным, но не наоборот.
• Связность. Дугласова метрика сохраняет связность: если пространство связно, то и $(X,\rho)$ связно.

¶Применение

Дугласово пространство используется как контрпример в общей топологии и теории метрических пространств. Оно показывает, что компактность не является топологическим свойством, сохраняющимся при изменении метрики на топологически эквивалентной метрике, и что характеристика «замкнутое и ограниченное» не гарантирует компактность вне евклидова пространства.

Пример также применяется при изучении длин кривых, вариационных задач и в дифференциальной геометрии при рассмотрении метрик, заданных через длины геодезических.

¶Литература

• Munkres J. R. Topology. — 2nd ed. — Prentice Hall, 1966.
• Douglas J. Solution of the problem of Plateau. — Transactions of the American Mathematical Society, 1931.
• Burago D., Burago Y., Ivanov S. A Course in Metric Geometry. — AMS, 2001.