Совокупность — понятие в математике, логике и статистике¶

Совокупность — это множество объектов, объединённых общим признаком и рассматриваемых вместе как единое целое. Понятие широко используется в математике, логике, статистике, информатике и повседневном языке, причём конкретное наполнение термина зависит от области: в теории множеств совокупность отождествляется с множеством, в статистике — с генеральной совокупностью наблюдений, в логике — с областью значений переменной.

¶Этимология и общее значение

Русское слово «совокупность» образовано от глагола «совокупить» (соединить, объединить) и восходит к церковнославянскому «съвокупити». В широком смысле слово означает «объединение, сумма, итог чего-либо» и употребляется как синоним слов «множество», «набор», «совокупность вещей». В научных дисциплинах термин получил строгое определение, отличающее его от бытового употребления.

¶Совокупность в математике

¶Теория множеств

В теории множеств совокупность — это произвольная коллекция объектов (элементов), рассматриваемая как единое целое. Элементы совокупности называются членами множества, а отношение принадлежности обозначается символом ∈. Совокупность может быть конечной (например, множество натуральных чисел от 1 до 10) или бесконечной (множество всех целых чисел). Основные операции над совокупностями — объединение, пересечение, разность и дополнение — описаны в работах Георга Кантора, основоположника теории множеств (1870-е годы).

¶Совокупность в теории вероятностей

В теории вероятностей совокупность (пространство элементарных исходов) — это множество всех возможных результатов случайного эксперимента. Каждому элементу пространства сопоставляется вероятность, причём сумма вероятностей всех элементов равна единице. Совокупность событий, удовлетворяющих определённым условиям, образует σ-алгебру, которая служит основой для построения вероятностных мер.

¶Совокупность в статистике

В статистике под совокупностью понимают генеральную совокупность — совокупность всех объектов или явлений, обладающих изучаемыми признаками. Например, генеральная совокупность может состоять из всех жителей страны, всех предприятий отрасли или всех произведений, выпущенных за определённый период.

Ключевые характеристики генеральной совокупности:

• Объём — число элементов совокупности;
• Признаки — свойства, по которым объекты различаются (количественные и качественные);
• Элементарная единица — наименьший объект наблюдения.

Для изучения генеральной совокупности, как правило, формируют выборку — подмножество объектов, по данным которой делаются выводы о всей совокупности. Различают сплошное наблюдение (охват всех элементов) и несплошное (выборочное). Основные статистические характеристики совокупности — среднее арифметическое, дисперсия, мода, медиана — позволяют описать центральную тенденцию и разброс данных.

¶Совокупность в логике и информатике

В математической логике совокупность — это область значений, из которой переменная может принимать значения. Например, в логике предикатов переменная x может пробегать по некоторому множеству (домену), и именно это множество называется областью значений или совокупностью.

В информатике и теории баз данных совокупность данных — это набор однотипных записей, хранящихся в таблице или файле. Понятие тесно связано с реляционной моделью данных Эдгара Кодда (1970), где таблица (реляция) представляет собой множество кортежей, объединённых общей структурой.

¶Совокупность в философии и языкознании

В философии понятие совокупности используется при описании целого и частей: совокупность — это целое, состоящее из элементов, находящихся в определённых отношениях. Проблема соотношения совокупности и её элементов обсуждается в онтологии и теории познания, начиная с античности (атомизм Демокрита, учение Аристотеля о субстанции).

В языкознании совокупность может обозначать лексический состав языка — совокупность всех слов и выражений, употребляемых носителями языка в определённый период.

¶Применение

Понятие совокупности применяется в самых разных областях:

• В науке — для описания наблюдаемых объектов (совокупность частиц, совокупность галактик);
• В экономике — для характеристики совокупности товаров, услуг, денежных средств;
• В юриспруденции — для обозначения совокупности обстоятельств дела, совокупности признаков преступления;
• В медицине — для описания совокупности симптомов заболевания (синдромов);
• В социологии — для характеристики совокупности индивидов, образующих социальную группу.

¶Интересные факты

Понятие множества (совокупности) настолько фундаментально, что в начале XX века возникли парадоксы, связанные с неограниченным использованием множеств (парадокс Рассела, 1901). Это привело к созданию аксиоматических систем теории множеств (ZFC), которые стали основой современной математики.

Источники:

• Кантор Г. «Об обосновании трансфинитной теории множеств» (1895)
• Кудрявцев Л. Д. «Вероятностные модели»
• Гмурман В. Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»
• Клайн М. «Математика. Поиск истины»
• Большой энциклопедический словарь