Сила упругости¶

Сила упругости — это сила, возникающая в деформированном упругом теле и направленная противоположно вектору перемещения точек тела, то есть стремящаяся восстановить исходную форму и размеры тела. Сила упругости является результатом электромагнитного взаимодействия между атомами и молекулами вещества: при деформации меняются расстояния между частицами и, соответственно, характерные силы их притяжения и отталкивания.

¶Закон Гука

Количественно зависимость между деформацией тела и возникающей упругой силой описывается законом Гука, сформулированным английским физиком Робертом Гуком в 1678 году. В общем виде закон Гука записывается как:

F = −k · Δx,

где F — модуль силы упругости, k — коэффициент жёсткости (упругости), измеряемый в ньютонах на метр (Н/м), а Δx — линейное смещение (удлинение или сжатие) относительно равновесного положения. Знак «минус» отражает то, что сила упругости всегда направлена противоположно смещению: при растяжении она стремится сжать тело, при сжатии — растянуть его.

Закон Гука справедлив только в пределах упругости — диапазоне деформаций, при которых тело после снятия нагрузки полностью восстанавливает исходные размеры и форму. Для большинства твёрдых тел этот диапазон ограничен относительно небольшими деформациями. При превышении предела упругости деформация становится необратимой (пластической), и закон Гука перестаёт выполняться.

¶Виды упругих деформаций

Сила упругости возникает при различных типах деформаций:

• Растяжение и сжатие — изменение длины тела вдоль одного направления. Сила упругости направлена вдоль оси деформации. Пример — пружина, растянутая грузом.
• Сдвиг (срез) — смещение слоёв тела относительно друг друга параллельно плоскости сечения. Сила упругости направлена вдоль этой плоскости.
• Кручение — деформация, при которой сечения тела поворачиваются относительно оси. Сила упругости (точнее, восстанавливающий момент) направлен противоположно углу закручивания.
• Изгиб — сложная деформация, сочетающая растяжение одних волокон тела и сжатие других. Восстанавливающая сила направлена противоположно прогибу.

Для каждого вида деформации закон Гука сохраняет линейный характер, но коэффициент жёсткости зависит от геометрии тела и свойств материала.

¶Коэффициент жёсткости и модуль упругости

Коэффициент жёсткости k зависит не только от материала, но и от формы и размеров тела. Для цилиндрического стержня при растяжении:

k = E · S / L,

где E — модуль Юнга (модуль упругости первого рода), характеризующий жёсткость материала, S — площадь поперечного сечения, L — исходная длина стержня. Модуль Юнга измеряется в паскалях (Па) и является справочной характеристикой материала: для стали E ≈ 2·10¹¹ Па, для алюминия — около 7·10¹⁰ Па, для древесины вдоль волокон — порядка 1·10¹⁰ Па.

Для пружины модуль упругости материала не является определяющим: жёсткость пружины зависит от диаметра проволоки, среднего диаметра витков, числа витков и модуля сдвига материала.

¶Работа силы упругости и потенциальная энергия

Сила упругости — консервативная сила. Работа, совершаемая ею при деформации тела из равновесного состояния до смещения Δx, равна:

A = k · (Δx)² / 2

Эта же величина равна потенциальной энергии упругой деформации, запасённой в теле:

Eп = k · (Δx)² / 2

При последующем восстановлении тела запасённая энергия превращается в кинетическую энергию движения тела или рассеивается в виде тепла. Максимальная кинетическая энергия колеблющегося тела (например, груза на пружине) равна максимальной потенциальной энергии упругой деформации.

¶Применение

Сила упругости лежит в основе работы множества технических устройств:

• Пружинные механизмы — часы, замки, амортизаторы, рессоры подвески транспортных средств.
• Весы — пружинные весы используют зависимость удлинения пружины от приложенной нагрузки.
• Виброзащита — упругие элементы гасят колебания, передаваемые на защищаемый агрегат.
• Накопители энергии — маховики и упругие элементы в механизмах с переменным нагрузочным циклом.

В технике также широко используются упругие деформации при посадке деталей (напрессовка), в рессорном подвешивании железнодорожного подвижного состава, в амортизаторах инструментов.

¶Связь с другими законами механики

Сила упругости фигурирует в третьем законе Ньютона: если тело А деформирует тело Б, то на тело А действует упругая сила со стороны тела Б, равная по модулю и противоположная по направлению. В задачах динамики сила упругости выступает как одна из составляющих равнодействующей сил, действующих на тело, и входит в уравнение движения F = m · a.

При колебаниях груза на пружине сила упругости является возвращающей силой, обеспечивающей гармонические колебания с периодом T = 2π√(m/k). Этот результат является основой работы механических осцилляторов и лежит в основе принципа работы маятников в часовых механизмах.

¶Ограничения применимости

Закон Гука и понятие силы упругости применимы только в пределах линейной упругости. Реальные материалы проявляют нелинейность при больших деформациях, а также подвержены явлениям ползучести (медленной деформации под постоянной нагрузкой) и усталости (разрушению при циклических нагрузках). Для описания сложных деформаций твёрдых тел используется математическая теория упругости, разработанная в том числе русскими учёными — Н. Н. Лебедевым, С. Г. Ляхницким, Л. И. Мандельштамом и другими.

Источники:

• Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика.
• Фрицке Г. Физика. Учебное пособие.
• Багров В. Н., Багров Н. В. Справочник по физике.
• Гуц А. Е. Физика: учебное пособие для вузов.