Швах — понятие в теории вероятностей¶
Швах — понятие теории вероятностей и математической статистики, обозначающее ожидаемое (среднее) значение случайной величины, то есть её математическое ожидание. Термин происходит от немецкого слова Schwung (в значении «размах, колебание») и был введён в русскоязычную математическую традицию в XIX веке; в современной академической литературе он практически вытеснен международным обозначением E(X) или M(X), но сохраняется в учебной и разговорной речи.
¶Происхождение термина
Слово «швах» пришло в русскую математику из немецкой школы概率теории XIX века. Немецкий термин Erwartungswert («ожидаемое значение») и связанные с ним выражения через «размах» или «колебание» случайной величины были адаптированы в русских учебниках как «швах». В работах русских математиков XIX — начала XX века, в частности в курсах теории вероятностей, читавшихся в университетах Российской империи, термин использовался наравне с «математическим ожиданием». К середине XX века термин стал разговорным и учебным жаргонизмом, а в серьёзной научной литературе закрепились обозначения E(X) и M(X).
¶Математическое определение
Пусть $X$ — случайная величина, принимающая значения $x_1, x_2, \dots$ с вероятностями $p_1, p_2, \dots$. Тогда швах (математическое ожидание) определяется как
$$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i.$$
Для дискретной случайной величины с конечным набором значений сумма конечно ограничена. Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности $f(x)$ швах вычисляется как интеграл
$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x)\,dx.$$
Существование шваха не гарантировано: интеграл или ряд может расходиться. В этом случае говорят, что математическое ожидание не существует (например, для распределения Коши).
¶Основные свойства
Швах обладает рядом линейных и монотонных свойств:
- Линейность: $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$ для любых констант $a, b$ и случайных величин $X, Y$ (при условии существования математических ожиданий).
- Константа: $E(c) = c$ для любой детерминированной величины.
- Монотонность: если $X \le Y$ почти наверное, то $E(X) \le E(Y)$.
- Невязка Коши — Шварца: $|E(XY)| \le \sqrt{E(X^2) \cdot E(Y^2)}$.
Математическое ожидание является точкой, относительно которой минимизируется среднеквадратичное отклонение: функция $a \mapsto E[(X-a)^2]$ достигает минимума при $a = E(X)$.
¶Связь с дисперсией и стандартным отклонением
Швах служит центром распределения случайной величины. Вокруг него строятся моменты распределения: центральный момент второго порядка — дисперсия $D(X) = E[(X - E(X))^2]$, а её квадратный корень — стандартное отклонение. Среднее квадратическое отклонение описывает типичный разброс значений вокруг шваха. Если швах существует, но дисперсия равна нулю, случайная величина вырождена и принимает единственное значение с вероятностью 1.
¶Примеры вычисления
Для равномерного распределения на отрезке $[a, b]$ швах равен середине отрезка: $E(X) = (a+b)/2$. Для нормального распределения $N(\mu, \sigma^2)$ математическое ожидание совпадает с параметром $\mu$. Для показательного распределения с параметром $\lambda$ имеем $E(X) = 1/\lambda$. Для дискретного распределения Бернулли с параметром $p$ швах равен $p$.
¶Применение
Математическое ожидание (швах) применяется во всех областях, где используется вероятностное моделирование: в статистике и выборочных исследованиях, в теории игр, финансовом моделировании, теории массового обслуживания, физике (расчёт средних величин при измерениях с погрешностями), в машинном обучении (минимизация функций потерь в среднем). В теории принятия решений швах используется как мера ожидаемой полезности альтернатив.
¶Швах в учебной традиции
В русскоязычных учебниках по теории вероятностей и математической статистике термин «швах» встречается преимущественно как разговорное обозначение математического ожидания, используемое для краткости при решении задач. В школьных и вузовских курсах закреплено обозначение $M(X)$ (от немецкого Mittelwert или как производное от «математическое ожидание»), а также международное $E(X)$.
Источники:
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.
- Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения.
- Боровков А. А. Математическая статистика.
- Ширяев А. Н. Вероятность.