Сферические координаты в математике¶

Сферические координаты — система координат в трёхмерном пространстве, в которой положение точки задаётся тремя величинами: расстоянием от начала координат и двумя углами, определяющими направление на эту точку. Наряду с цилиндрическими и декартовыми координатами сферическая система относится к криволинейным координатам и широко применяется в геометрии, физике, астрономии, геодезии и компьютерной графике.

¶Определение

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат с началом в точке O. Положение произвольной точки M, отличной от начала координат, однозначно определяется тройкой чисел (r, θ, φ):

r (радиус, или радиальное расстояние) — расстояние от начала координат до точки M, r ≥ 0;
θ (полярный угол, или зенитный угол) — угол между положительным направлением оси z и отрезком OM, 0 ≤ θ ≤ π;
φ (азимутальный угол) — угол между проекцией отрезка OM на плоскость xy и положительным направлением оси x, обычно 0 ≤ φ < 2π.

Иногда вместо зенитного угла используют угол места (широту), отсчитываемый от плоскости xy; тогда диапазон меняется на −π/2 ≤ θ ≤ π/2. В физике и астрономии полярный и азимутальный углы часто обозначают иначе, что требует внимательного чтения формул.

¶Связь с декартовыми координатами

Переход от сферических координат к декартовым задаётся формулами:

x = r · sin θ · cos φ
y = r · sin θ · sin φ
z = r · cos θ

Обратный переход:

r = √(x² + y² + z²)
θ = arccos(z / r)
φ = atan2(y, x)

Функция atan2 выбирается вместо обычного арктангенса, чтобы корректно определить четверть плоскости и избежать деления на ноль. В начале координат (r = 0) углы не определены, а на оси z (x = y = 0) не определён азимут — это пример координатной особенности.

¶Элемент объёма и метрика

В сферических координатах элемент объёма имеет вид:

dV = r² · sin θ · dr · dθ · dφ

Множитель r² sin θ называется якобианом перехода. Квадрат элемента длины (метрика) записывается как:

dl² = dr² + r² dθ² + r² sin²θ dφ²

Из метрики видно, что координатные линии r — прямые, проходящие через начало координат, линии θ и φ — дуги окружностей. Координатные поверхности r = const — сферы, θ = const — круговые конусы, φ = const — полуплоскости.

¶Операторы в сферических координатах

Сферическая система удобна тем, что оператор Лапласа, играющий ключевую роль в уравнениях математической физики, разделяется на радиальную и угловую части:

Δf = (1/r²) ∂/∂r (r² ∂f/∂r) + (1/(r² sin θ)) ∂/∂θ (sin θ ∂f/∂θ) + (1/(r² sin²θ)) ∂²f/∂φ²

Такое разделение позволяет решать уравнение Шрёдингера для атома водорода, уравнение теплопроводности и волновое уравнение методом разделения переменных. Угловая часть оператора связана со сферическими функциями — решениями уравнения Лапласа на сфере.

¶Применение

¶Астрономия и геодезия

В астрономии положение светил задаётся экваториальными координатами: прямое восхождение и склонение — это по существу сферические углы на небесной сфере. В геодезии и навигации используются широта, долгота и высота над уровнем моря, что также является вариантом сферических координат, привязанным к форме Земли.

¶Физика

Сферические координаты естественны для задач с центральной симметрией: гравитационное и электростатическое поля точечного заряда, излучение антенн, рассеяние частиц, теория атома. В квантовой механике угловые части волновых функций выражаются через сферические гармоники.

¶Вычислительная графика и геоинформатика

В трёхмерной графике сферические координаты применяются для задания положения камеры вокруг объекта, моделирования источников освещения и построения панорамных проекций. В геоинформационных системах на их основе строятся картографические проекции.

¶Системы координат на сфере

Для описания точек на поверхности сферы достаточно двух углов — широты и долготы. Такая система называется сферической системой на поверхности. Она лежит в основе картографии: отображение сферической поверхности на плоскость (проекция Меркатора, стереографическая проекция и другие) неизбежно вносит искажения, характер которых изучает математическая картография.

¶Обобщения

Сферические координаты обобщаются на пространства большей размерности — гиперсферические координаты, где положение точки задаётся одним радиусом и n − 1 углами. В четырёхмерном пространстве-времени используется родственная система с мнимой временной координатой. Существуют также эллипсоидальные и тороидальные координаты, приспособленные к симметрии конкретных задач.

¶История

Идея задания положения на небесной сфере двумя углами восходит к античной астрономии: системы небесных координат использовали Гиппарх и Птолемей. В аналитической геометрии сферические координаты развивались в XVIII веке в работах Леонарда Эйлера, Жозефа Луи Лагранжа и Пьера-Симона Лапласа, применявших их к задачам небесной механики. Сферические функции, возникающие при разделении переменных, изучались Лапласом и Адриеном Лежандром.

¶См. также

Сферические координаты тесно связаны с полярной системой координат на плоскости (частный случай при фиксированном z), цилиндрическими координатами и углами Эйлера, описывающими повороты твёрдого тела.

Источники: учебники по аналитической геометрии и математическому анализу, курсы общей физики, справочники по высшей математике, материалы по вычислительной геометрии и картографии.