Уравнение Шрёдингера для атома водорода¶

Уравнение Шрёдингера для атома водорода — фундаментальная задача квантовой механики, состоящая в решении волнового уравнения Шрёдингера для системы из одного электрона и одного протона, связанных кулоновским взаимодействием. Исторически именно её точное аналитическое решение, полученное в 1926 году, стало первым крупным успехом волновой механики и объяснило дискретный характер атомных спектров, который до того описывался феноменологически моделью Бора.

¶Постановка задачи

Атом водорода — простейшая связанная квантовая система: ядро (протон) и один электрон. В нерелятивистском приближении потенциальная энергия их взаимодействия задаётся законом Кулона:

V(r) = −e² / (4πε₀ r),

где e — элементарный заряд, ε₀ — электрическая постоянная, r — расстояние между частицами. Стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид:

Ĥψ = Eψ, где Ĥ = −(ħ²/2μ)∇² + V(r).

Здесь ħ — постоянная Планка, μ — приведённая масса электрона и протона, ψ — волновая функция, E — энергия состояния. Поскольку масса протона почти в 1836 раз больше массы электрона, приведённая масса μ близка к массе электрона mₑ.

¶Разделение переменных

Задача обладает сферической симметрией, поэтому решение удобно искать в сферических координатах (r, θ, φ). Волновую функцию представляют в виде произведения:

ψ(r, θ, φ) = R(r) · Y(θ, φ),

где R — радиальная часть, а Y — угловая, совпадающая со сферическими функциями (сферическими гармониками). Такое разделение приводит к трём независимым уравнениям, каждое из которых решается аналитически. Угловая часть определяется целыми квантовыми числами l (орбитальное) и m (магнитное), радиальная — главным квантовым числом n.

¶Квантовые числа и энергетический спектр

Решение накладывает условия квантования, из которых возникают три квантовых числа:

• n — главное, n = 1, 2, 3, …; определяет энергию уровня;
• l — орбитальное, l = 0, 1, …, n − 1; определяет момент импульса;
• m — магнитное, m = −l, …, 0, …, +l; определяет проекцию момента на ось.

Энергия связанных состояний зависит только от n и выражается формулой:

Eₙ = −(μ e⁴) / (32π²ε₀²ħ² n²) = −13,6 эВ / n².

Отрицательный знак означает связанное состояние. Основному уровню (n = 1) соответствует энергия −13,6 эВ — это энергия ионизации атома водорода. Уровни сгущаются к нулю при n → ∞, образуя дискретный спектр; состояния с E > 0 соответствуют свободному электрону (непрерывный спектр).

¶Радиальные функции и орбитали

Радиальная часть Rₙₗ(r) содержит множитель r^l, экспоненту e^(−r/(n a₀)) и полином Лягерра. Величина a₀ = 4πε₀ħ²/(μe²) ≈ 0,529 Å называется боровским радиусом и задаёт характерный масштаб атома. Для основного состояния 1s (n = 1, l = 0) волновая функция сферически симметрична и максимальна в центре. Для состояний с l > 0 плотность вероятности обращается в нуль в начале координат.

Квадрат модуля волновой функции |ψ|² имеет смысл плотности вероятности обнаружения электрона. Изображения этих распределений — электронные облака (s-, p-, d-орбитали) — лежат в основе химической теории строения атома.

¶Вырождение уровней

Энергия зависит только от n, поэтому каждому уровню отвечает несколько состояний с разными l и m. Число таких состояний (без учёта спина) равно n². Учёт спина электрона (двузначная переменная) удваивает это число до 2n². Дополнительное вырождение по l характерно именно для кулоновского потенциала и связано со скрытой симметрией задачи — сохранением вектора Рунге — Ленца. В многоэлектронных атомах это вырождение снимается экранированием.

¶Тонкая структура

Точное решение уравнения Шрёдингера не учитывает релятивистские эффекты и спин-орбитальное взаимодействие. Их учёт (уравнение Дирака) приводит к расщеплению уровней — тонкой структуре. Например, уровень n = 2 распадается на подуровни 2s₁/₂ и 2p₁/₂, различающиеся энергией (лэмбовский сдвиг, измеренный в 1947 году). Дальнейшее уточнение даёт сверхтонкая структура, связанная с взаимодействием магнитных моментов электрона и протона; переход между сверхтонкими подуровнями основного состояния атома водорода порождает излучение с длиной волны около 21 см, широко используемое в радиоастрономии.

¶Значение

Решение задачи об атоме водорода стало образцом для квантовой теории и базой для понимания структуры всех атомов. Оно объяснило серию Бальмера и другие спектральные серии, ввело понятие атомных орбиталей, лежит в основе квантовой химии и спектроскопии. Водородоподобные ионы (He⁺, Li²⁺ и др.) описываются теми же уравнениями с заменой заряда ядра, что позволяет проверять теорию на прецизионном уровне.

¶Источники

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Квантовая механика (нерелятивистская теория)».
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. «Фейнмановские лекции по физике», т. 8–9.
• Шифф Л. «Квантовая механика».
• Гриффитс Д. «Введение в квантовую механику».