Формула Стокса в гидродинамике¶

Формула Стокса — выражение для силы сопротивления, действующей на небольшое твёрдое тело сферической формы, которое медленно движется в вязкой жидкости или газе. Получена Джорджем Габриелем Стоксом в 1851 году и является одним из базовых результатов гидродинамики. Формула справедлива при ламинарном (ползущем) обтекании, когда инерционными эффектами можно пренебречь, а число Рейнольдса мало.

¶Формулировка

Для сферы радиуса \(r\), движущейся со скоростью \(v\) в среде с динамической вязкостью \(\mu\), сила сопротивления \(F\) записывается в виде:

\[ F = 6 \pi \mu r v \]

Величина \(6\pi\) возникает как произведение множителей, отвечающих за распределение напряжений на поверхности сферы и за поле скоростей вокруг неё. Сила направлена противоположно вектору скорости тела относительно среды.

Если среда имеет плотность \(\rho\), то через кинематическую вязкость \(\nu = \mu/\rho\) формула принимает эквивалентный вид:

\[ F = 6 \pi \rho \nu r v \]

¶Условия применимости

Формула выведена для предельного случая очень малых чисел Рейнольдса:

\[ \mathrm{Re} = \frac{2 r v \rho}{\mu} \]

При малых \(\mathrm{Re}\) течение вокруг тела является ползущим: вязкие силы многократно превосходят инерционные. Практически формула Стокса даёт хорошее приближение при \(\mathrm{Re} \lesssim 1\), а при \(\mathrm{Re}\) порядка единиц и выше требуется вводить поправки.

Дополнительные условия:

• тело — твёрдая сфера с гладкой поверхностью;
• среда — ньютоновская жидкость или газ с постоянной вязкостью;
• течение установившееся, без турбулентности;
• отсутствуют внешние границы вблизи тела (неограниченная среда);
• скорость движения мала.

При приближении к стенке или к другой частице сила сопротивления возрастает, и в формулу вводят поправочные коэффициенты.

¶Вывод и физический смысл

Стокс решил уравнения движения вязкой жидкости (уравнения Навье — Стокса) в пренебрежении инерционным членом. В этом приближении уравнения становятся линейными и допускают аналитическое решение для обтекания сферы. Поле скоростей вокруг сферы имеет характерный вид: жидкость «обтекает» тело, а на его поверхности выполняется условие прилипания.

Сила сопротивления складывается из двух частей:

• сопротивление трения — касательные напряжения, обусловленные вязкостью;
• сопротивление давления — нормальные напряжения, распределённые по поверхности.

Для сферы в ползущем режиме обе составляющие сравнимы по величине, а их сумма даёт коэффициент \(6\pi\).

¶Поправки и обобщения

¶Поправка Озеена

При конечных, хотя и малых, числах Рейнольдса инерционные члены уже нельзя полностью отбрасывать. Карл Вильгельм Озеен предложил приближённое решение, учитывающее первый порядок инерции. Сила сопротивления принимает вид:

\[ F = 6 \pi \mu r v \left(1 + \frac{3}{8}\mathrm{Re}\right) \]

Эта поправка расширяет область применимости формулы на умеренные \(\mathrm{Re}\).

¶Поправка на границы

Если сфера движется вдоль оси цилиндра или вблизи плоскости, сила возрастает. Например, для сферы, падающей в цилиндрической трубке, вводят множитель, зависящий от отношения радиуса сферы к радиусу трубки.

¶Несферические частицы

Для тел иной формы используют обобщённую запись \(F = f \mu v d\), где \(f\) — коэффициент сопротивления, зависящий от формы, а \(d\) — характерный размер. Для сферы \(f = 3\pi d\), что совпадает с формулой Стокса.

¶Применение

Формула Стокса широко используется в физике, химии, метеорологии и инженерии.

• Седиментация. Скорость оседания мелких частиц в жидкости или газе определяют, приравнивая силу Стокса к силе тяжести с учётом силы Архимеда. Отсюда получают скорость осаждения.
• Вискозиметрия. По скорости падения шарика в жидкости (метод Стокса) измеряют вязкость среды. Это классический лабораторный способ.
• Аэрозоли и туман. Формула описывает движение мелких капель и пылинок в воздухе, что важно для экологии и метеорологии.
• Биология и медицина. С её помощью оценивают скорость оседания эритроцитов, движение микроорганизмов и частиц в биологических жидкостях.
• Микрофлюидика. При проектировании устройств на микро- и наномасштабе, где \(\mathrm{Re}\) мало, формула служит базовой оценкой сопротивления.

¶Пример расчёта

Пусть сфера радиусом \(r = 1\) мм падает в воде с вязкостью \(\mu \approx 10^{-3}\) Па·с. При скорости \(v = 1\) см/с сила сопротивления составит:

\[ F = 6 \pi \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-2} \approx 1{,}9 \cdot 10^{-7}\ \text{Н} \]

Такая оценка используется при анализе осаждения мелких частиц.

¶Значение

Формула Стокса — один из немногих точных аналитических результатов для течений вязкой жидкости. Она связывает микроскопическое свойство среды (вязкость) с макроскопической наблюдаемой величиной (силой сопротивления) и служит основой для более сложных моделей. Её роль в гидродинамике сопоставима с ролью закона Пуазейля для течений в трубах.

Источники: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Гидродинамика»; Стокс Дж. Г. работы по вязкой жидкости; справочники по гидромеханике.