Уравнения Навье — Стокса¶
Уравнения Навье — Стокса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой сплошной среды (жидкости или газа). Они выражают законы сохранения массы, импульса и энергии применительно к течению среды и названы в честь французского инженера Клода Луи Навье (1822) и британского физика и математика Джорджа Габриеля Стокса (1845), независимо получивших эти соотношения. Уравнения лежат в основе гидродинамики, аэродинамики, метеорологии и многих прикладных дисциплин.
¶Общая формулировка
В векторной форме уравнение движения несжимаемой жидкости имеет вид:
ρ (∂v/∂t + (v · ∇) v) = −∇p + μ ∇²v + f,
где ρ — плотность, v — вектор скорости, t — время, p — давление, μ — динамическая вязкость, f — вектор массовых сил (например, сила тяжести). Уравнение дополняется уравнением неразрывности ∇ · v = 0 для несжимаемой среды. Для сжимаемых течений система усложняется: учитывается переменная плотность и уравнение энергии, связывающее давление, температуру и внутреннюю энергию.
Слагаемые имеют ясный физический смысл: ∂v/∂t — локальное ускорение, (v · ∇)v — конвективное ускорение (перенос импульса самим потоком), −∇p — вклад перепада давления, μ ∇²v — действие вязких сил, f — внешние силы.
¶История
Отдельные элементы теории заложил Леонард Эйлер, записавший в 1755 году уравнения движения идеальной (невязкой) жидкости. Навье в 1822 году и Стокс в 1845 году добавили член, учитывающий вязкость. Стокс также исследовал важный частный случай — медленное обтекание сферы, известный как закон Стокса. В XX веке уравнения стали основой вычислительной гидродинамики; их численное решение развивали применительно к авиации, судостроению и нефтегазовой отрасли. Значительный вклад в теорию турбулентности, описываемой этими уравнениями, внёс Андрей Колмогоров.
¶Свойства и режимы течения
Характер решения определяется безразмерным числом Рейнольдса Re = ρvL/μ, где L — характерный размер. При малых Re течение ламинарное и устойчивое, при больших — турбулентное, с хаотическими вихрями и перемешиванием. Уравнения нелинейны из-за конвективного члена, что порождает богатое поведение решений: вихревые дорожки, пограничные слои, ударные волны в сжимаемых средах.
¶Проблема существования и гладкости
Одной из семи «проблем тысячелетия», сформулированных Институтом Клэя в 2000 году, является вопрос о существовании и гладкости решений трёхмерных уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости. Требуется доказать либо существование гладкого решения при любых начальных данных, либо существование решения, которое через конечное время теряет гладкость (возникает особенность). За решение назначена премия в 1 миллион долларов. Для двумерного случая гладкость доказана, трёхмерный случай остаётся открытым.
¶Применение
Уравнения применяются в широком круге задач:
- аэродинамика летательных аппаратов и автомобилей;
- расчёт течений в трубопроводах, насосах, турбинах;
- метеорология и климатические модели;
- океанология и динамика атмосферы;
- биомеханика (течение крови, дыхание);
- нефтегазовая отрасль и химическая технология.
На практике точные аналитические решения известны лишь для немногих случаев (течение Пуазейля в трубе, течение Куэтта между пластинами, закон Стокса). В общем случае применяют численные методы: метод конечных объёмов, конечных элементов, спектральные схемы. Для турбулентных течений используют осреднённые модели (RANS), методы крупных вихрей (LES) и прямое численное моделирование (DNS), требующее огромных вычислительных ресурсов.
¶Значение
Уравнения Навье — Стокса — один из краеугольных результатов математической физики. Они связывают фундаментальные законы механики с практическими расчётами и служат основой инженерного проектирования. Одновременно они остаются предметом активных исследований в области математического анализа, вычислительной математики и теории турбулентности.
Источники: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Гидродинамика»; Лойцянский Л. Г. «Механика жидкости и газа»; материалы Института Клэя (Clay Mathematics Institute); справочные издания по вычислительной гидродинамике.