Задание 19 ЕГЭ по математике: планиметрия в профильном уровне¶
Задание 19 ЕГЭ по математике — это задача повышенной сложности из профильного уровня экзамена, посвящённая планиметрическому доказательству. Она проверяет умение строить вспомогательные построения, применять свойства треугольников, четырёхугольников и окружностей, а также логически обосновывать каждое преобразование. Задание имеет номер 19 в демоверсии ФИПИ и относится к блоку заданий с развёрнутым ответом (без вариантов выбора).
¶Структура и место в экзамене
Профильный уровень ЕГЭ по математике (код 02) состоит из двух частей: первая часть содержит 11 заданий с кратким ответом, вторая — 7 заданий с развёрнутым ответом, среди которых задания 12–18 базового и повышенного уровня и задания 19–21 высокого уровня сложности. Задание 19 традиционно является первым из «высокого» блока и стоит 2 балла при условии полного и корректного доказательства.
Формулировка типового задания звучит примерно так: «Даны точки A, B, C, D на окружности…», «В трапеции ABCD…», «Точка M — середина стороны…». Требуется доказать равенство отрезков, равенство углов, подобие или равенство треугольников, перпендикулярность или параллельность прямых. Иногда в условии просят доказать, что точки лежат на одной окружности, или что четыре точки образуют описанную фигуру.
¶Типовые приёмы решения
Для задания 19 характерен ограниченный набор геометрических идей, которые повторяются из года в год с вариациями условий.
¶Вспомогательные построения
Самый частый источник трудностей — необходимость провести вспомогательную линию. Наиболее распространённые построения:
- Соединить две точки диагональю или отрезком, разбивающим фигуру на два треугольника, в которых удобно применить признаки подобия или равенства.
- Провести прямую, параллельную одной из сторон, чтобы получить подобные треугольники или воспользоваться свойствами средней линии.
- Провести высоту из вершины к противоположной стороне (или её продолжению) — особенно в задачах на прямоугольные треугольники и окружности.
- Провести радиус или диаметр к точке, лежащей на окружности, чтобы использовать вписанный угол, равный половине центрального.
- Допостроить треугольник до параллелограмма — приём, часто применяемый в задачах на трапеции и средние линии.
¶Ключевые теоремы
Для решения обычно достаточно следующего набора:
| Теорема | Типичное применение |
|---|---|
| Признаки подобия треугольников (по двум углам, по сторонам) | Доказательство пропорциональности отрезков |
| Признаки равенства треугольников (по сторонам, по стороне и двум углам) | Доказательство равенства отрезков и углов |
| Средняя линия треугольника | Связь отрезков, параллельность |
| Теорема Фалеса | Пропорциональность при параллельных прямых |
| Свойства вписанного угла | Задачи с окружностью |
| Теорема Пифагора | Вычисление и сравнение длин |
| Свойства биссектрисы и медианы | Задачи на деление отрезков |
| Признак трапеции, свойства параллелограмма | Задачи на четырёхугольники |
¶Алгоритм работы над заданием
Практика показывает, что успешное решение строится по определённому порядку действий.
- Прочитать условие дважды и выписать все данные в виде схемы с пометками (равные углы, равные стороны, точки на окружности).
- Определить, что требуется доказать, и записать это как цель: например, «доказать, что MN ∥ BC».
- Работать от цели назад: чтобы доказать параллельность, нужно равные углы или пропорциональность; чтобы доказать пропорциональность, нужно подобие треугольников; чтобы доказать подобие, нужно найти равные углы.
- Провести вспомогательное построение, если без него не удается найти нужные пары треугольников.
- Записать доказательство по шагам, ссылаясь на теоремы по каждому утверждению. В экзаменационной работе это критически важно: за частично верное решение без обоснования баллы не начисляются.
¶Подготовка
Регулярная отработка заданий 19 из открытых банков задач ФИПИ и репетиционных экзаменов даёт наибольший эффект. Полезно вести тетрадь «типовых построений»: записывать условие, схему и ключевую идею решения. После решения 20–30 задач становится заметно, что условие почти всегда сводится к одному из пяти-шести стандартных сценариев, различающихся лишь формулой условий.
В ходе экзамена на задание 19 рекомендуется выделять 10–15 минут. Если решение не находится в течение этого времени, стоит перейти к следующему заданию и вернуться позже: часто идея приходит после работы с другими задачами.
¶История и статистика
Задание 19 появилось в структуре профильного ЕГЭ по математике после разделения экзамена на базовый и профильный уровни в 2015 году. По статистике ФИПИ, средний процент выполнения этого задания по стране колеблется в пределах 30–45 %, что делает его одним из самых сложных в первой части второй части экзамена. Наиболее частые ошибки — неполное доказательство (отсутствие обоснования промежуточных утверждений) и неверное вспомогательное построение, приводящее к ложной гипотезе.