Ядро функции — понятие алгебры¶

Ядро функции — это множество всех элементов области определения функции, которые отображаются в нулевой элемент области значений. Понятие является фундаментальным в алгебре и теории множеств, применяется при изучении гомоморфизмов, линейных операторов и групповых отображений.

¶Определение

Пусть дана функция (отображение) $f: A \to B$, где $A$ — область определения, $B$ — область значений, а $0_B$ — нулевой элемент области значений (при его наличии). Ядром функции $f$ называется подмножество

$$\ker f = \{a \in A \mid f(a) = 0_B\}.$$

Если в области значений нулевой элемент не выделен (например, при произвольных множествах), ядро определяют через отображение в фиксированный элемент $b_0 \in B$: множество точек, отображаемых в $b_0$. В теории групп ядро гомоморфизма $\varphi: G \to H$ — это подгруппа $G$, состоящая из всех элементов, попадающих в единицу $e_H$ группы $H$.

¶Ядро в различных алгебраических структурах

¶Группы

Для гомоморфизма групп $\varphi: G \to H$ ядро $\ker \varphi$ является нормальной подгруппой $G$. Это следует из того, что для любого $g \in G$ и $k \in \ker \varphi$ выполнено $\varphi(gkg^{-1}) = \varphi(g)\varphi(k)\varphi(g)^{-1} = e_H$, то есть $gkg^{-1} \in \ker \varphi$. Теорема о гомоморфизме утверждает, что факторгруппа $G / \ker \varphi$ изоморфна образу $\operatorname{im} \varphi$.

¶Кольца и модули

Для гомоморфизма колец $\varphi: R \to S$ ядро $\ker \varphi$ является идеалом кольца $R$. При этом факторкольцо $R / \ker \varphi$ изоморфно образу $\operatorname{im} \varphi$. Для линейных операторов $A: V \to W$ между векторными пространствами ядро $\ker A$ — это подпространство векторов, отображаемых в ноль; его размерность называется нулевым числом (дефектом) оператора.

¶Группы и кольца

Аналогично определяются ядра для гомоморфизмов колец с единицей, алгебр, полугрупп, моноидов и других алгебраических структур. Общая черта — ядро всегда является подструктурой исходной структуры (подгруппой, идеалом, подмодулем).

¶Свойства ядра

• Ядро всегда содержит нулевой элемент (единицу) исходной структуры: $f(0_A) = 0_B$.
• Ядро является подструктурой: подгруппой, идеалом, подпространством в зависимости от типа отображения.
• Функция является инъективной тогда и только тогда, когда её ядро состоит из одного нулевого элемента: $\ker f = \{0_A\}$.
• Ядро является «наибольшим» подмножеством, отображаемым в ноль: любое подмножество, отображаемое в ноль, содержится в ядре.
• Две функции с одинаковым ядром и одинаковым образом «различаются» только на уровне отображения факторструктур.

¶Применение

Понятие ядра используется в линейной алгебре при решении однородных линейных уравнений $Ax = 0$: множество всех решений такого уравнения и есть ядро линейного оператора, заданного матрицей $A$. В теории групп ядро применяется при построении факторгрупп и изучении простых групп. В алгебраической топологии ядро когомологий и гомологий играет важную роль при классификации топологических пространств.

¶Интересные факты

• Термин «ядро» (нем. Kern) ввёл немецкий математик Эмиль Артин в 1920-х годах в связи с теорией полей.
• Понятие ядра тесно связано с понятием образа: изоморфизм теоремы о гомоморфизме устанавливает взаимно однозначное соответствие между факторструктурой по ядру и образом отображения.

¶Источники

• Курош А. Г. «Курс общей алгебры»
• Бурбуркин Н. Б. «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
• Ладыженская О. А. «Лекции по теории групп»
• Прасолов В. В. «Задачи и теоремы линейной алгебры»