Высота в равнобедренном треугольнике¶

Высота в равнобедренном треугольнике — перпендикуляр, опущенный из вершины угла при основании (или из вершины, противолежащей основанию) на противоположную сторону треугольника. Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны (боковые) равны; равны и углы при основании. Свойства этой фигуры позволяют вычислять высоты по нескольким формулам в зависимости от известных элементов.

¶Свойства равнобедренного треугольника

Обозначим треугольник ABC, где AB = BC — боковые стороны, AC — основание. Точка D — основание высоты, проведённой из вершины B к стороне AC.

Ключевые свойства, используемые при вычислении высот:

• Высота, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является одновременно медианой и биссектрисой. То есть точка D делит основание пополам: AD = DC = AC / 2.
• Высота, проведённая из вершины угла при основании (например, из A на сторону BC), не обладает такими свойствами и вычисляется иначе.
• Высота делит равнобедренный треугольник на два congruentных прямоугольных треугольника ABD и CBD.

¶Высота из вершины, противолежащей основанию

Это наиболее частый случай. Пусть известны боковая сторона b и основание a. Тогда высота h вычисляется по формуле:

h = √(b² − (a/2)²)

Формула получается из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике ABD, где AD = a/2, AB = b, BD = h:

h² + (a/2)² = b², откуда h = √(b² − a²/4).

Пример: при b = 10 и a = 12 получаем h = √(100 − 36) = √64 = 8.

Если известны основание a и угол при основании α, высота находится по формуле:

h = (a / 2) · tg α

Эта формула следует из того, что в прямоугольном треугольнике ABD катет AD = a/2 прилежит к углу α, а катет BD = h противолежит ему.

Если известны боковая сторона b и угол при основании α:

h = b · sin α

¶Высота из вершины угла при основании

Пусть нужно найти высоту h_a, опущенную из вершины A на сторону BC (боковую сторону). Тогда:

h_a = a · sin α / (2 · sin γ),

где γ — угол при вершине B (угол между боковыми сторонами). В равнобедренном треугольнике γ = 180° − 2α, поэтому:

h_a = a · sin α / (2 · sin(180° − 2α)) = a · sin α / (2 · sin 2α) = a / (4 · cos α)

Также высота из вершины при основании выражается через площадь треугольника:

h_a = 2S / a,

где S — площадь треугольника, a — сторона, на которую опущена высота.

¶Высота через площадь

Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить как:

S = (a · h) / 2,

где a — основание, h — высота к нему. Отсюда:

h = 2S / a

Площадь также выражается через боковую сторону b и высоту h_b к ней: S = (b · h_b) / 2, откуда h_b = 2S / b.

¶Высота в прямоугольном равнобедренном треугольнике

Частный случай — равнобедренный прямоугольный треугольник, где угол при вершине γ = 90°, а углы при основании α = 45°. Тогда:

• Высота из вершины прямого угла к гипотенузе (основанию) равна половине гипотенузы: h = c / 2, где c — гипотенуза.
• Высота к катету равна другому катету (так как катеты являются высотами): h = b, если катеты равны b.

¶Высота в остроугольном и тупоугольном случаях

Если угол при вершине γ > 90°, высота, проведённая из этой вершины к основанию, лежит внутри треугольника, но основание высоты делит отрезок AC не пополам снаружи — точка D по-прежнему является серединой AC, так как высота из вершины противолежащей основанию в равнобедренном треугольнике всегда является медианой.

Высота же, проведённая из вершины угла при основании в тупоугольном равнобедренном треугольнике, может опускаться на продолжение противоположной стороны.

¶Типичные задачи

Наиболее распространённые школьные задачи на высоту в равнобедренном треугольнике:

1. Найти высоту по двум известным сторонам (боковой и основанию) — формула h = √(b² − a²/4).
2. Найти высоту по основанию и углу при основании — формула h = (a/2) · tg α.
3. Найти сторону, если известны высота и другой элемент (обратная задача).
4. Найти высоту, делящую угол при вершине пополам (в равнобедренном треугольнике высота из вершины противолежащей основанию автоматически является биссектрисой).
5. Найти высоту, проведённую к боковой стороне, через площадь.

¶Историческая справка

Равнобедренные треугольники использовались в геометрии Древней Греции. Наиболее известный пример — «египетский треугольник» с отношением сторон 3:4:5, хотя он прямоугольный, а не равнобедренный. Равнобедренные треугольники встречались в построениях Евклида («Начала», книга I) при решении задач на построение и доказательстве теоремы о биссектрисе.

¶Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия: учебник для 7—9 классов.
• Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7—11 классов.
• Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Математика: учебное пособие.
• Энциклопедический словарь юного математика.