Восклицательный знак в математике¶

Восклицательный знак в математике — знак факториала, унаследованный от нотации, введённой французским математиком Кристианом Крампом в 1808 году. Символ ! ставится справа от числа или выражения и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до данного: n! = 1·2·3·…·n. Факториал определён для неотрицательных целых чисел; по соглашению 0! = 1.

¶История происхождения

Термин «факториал» и сам символ восклицательного знака ввёл французский математик Кристиан Крамп (Christian Kramp) в 1808 году в работе «Élements d'arithmétique universelle». Крамп искал компактную запись для произведения последовательных чисел, которая была бы короче прежних обозначений. Восклицательный знак был выбран как визуально простой и легко набираемый символ.

До Крампа для записи произведений использовали разные схемы: например, Декарт обозначал факториал числа n как n̄ (n с чертой сверху), а Лейбниц в переписке с Бернулли упоминал произведения последовательных чисел без особой символики. Восклицательный знак быстро прижился в континентальной Европе, но в англоязычной математической литературе он стал общепринятым лишь к концу XIX — началу XX века, вытеснив альтернативные обозначения.

¶Определение и свойства

Факториал неотрицательного целого числа n определяется рекуррентно:

• 0! = 1 (по соглашению, согласующееся с пустым произведением и формулами комбинаторики);
• n! = n·(n−1)! при n ≥ 1.

Из определения следуют основные свойства:

Асимптотическая формула Стерлинга позволяет оценить рост факториала: он растёт быстрее любой экспоненты, но медленнее, чем nⁿ.

¶Обобщения

¶Дробный факториал

Факториал распространён на дробные и комплексные числа через гамма-функцию Эйлера: Γ(z) = ∫₀^∞ t^{z−1}e^{−t} dt, при этом n! = Γ(n+1) для целых n ≥ 0. Гамма-функция непрерывна и дифференцируема, что позволяет говорить о «факториале» произвольного вещественного (кроме отрицательных целых) и комплексного числа.

¶Двойной и множественный факториал

Двойной факториал n!! — произведение чисел, отличающихся от n на 2. Множественный факториал n!^{(k)} обобщает идею на шаг k.

¶Суперфакториал и гиперфакториал

Суперфакториал Буля определяется как произведение первых n факториалов: sf(n) = ∏_{k=1}^{n} k!. Гиперфакториал — H(n) = ∏_{k=1}^{n} kᵏ.

¶Применение

¶Комбинаторика

Факториал — основной инструмент подсчёта перестановок: число способов упорядочить n различных объектов равно n!. Число размещений и перестановок с повторениями также выражаются через факториалы.

¶Теория вероятностей

Факториал входит в формулу бинома Ньютона, формулу числа сочетаний C(n,k) = n!/(k!(n−k)!), а также в распределения (пуассоновское, пуасоновское распределение содержит e^{−λ}λⁿ/n!).

¶Анализ и теория чисел

Факториал определяет старшинство p-адических чисел: v_p(n!) считается по формуле Лежандра. Через факториалы формулируются ряды Тейлора: eˣ = Σ xⁿ/n!.

¶Интересные факты

• 0! = 1 — не тривиальное соглашение: оно необходимо, чтобы формула сочетаний C(n,0) = 1 была частным случаем общей формулы.
• Факториал растёт стремительно: 20! ≈ 2.43×10¹⁸, 100! ≈ 9.33×10¹⁵⁷.
• Крамп в предисловии к своей книге признался, что ввёл символ не столько по логике, сколько «по капризу» — ему просто понравился знак.

¶Источники

• Крамп К. «Éléments d'arithmétique universelle», 1808.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений», 1971.
• Гольдберг С. «Difference Methods for Initial-Value Problems», 1955.
• Graham R. L., Knuth D. E., Patashnik O. «Concrete Mathematics», 1989.
• Норвич Дж. «Евклидова мечта», 2006.