Вектор и его координаты¶
Вектор — направленный отрезок, то есть отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принята за начало, а другая — за конец. В математике и физике вектор задаётся не только длиной, но и направлением, что отличает его от скалярной величины. Координаты вектора — это упорядоченный набор чисел, показывающих, на сколько единиц вдоль каждой из осей координатной системы нужно сместиться, чтобы перейти от начала вектора к его концу. Каждой координате вектора соответствует своя ось: первая — оси абсцисс, вторая — оси ординат, третья — оси аппликат.
¶Определение и обозначение
Вектор обычно обозначают строчной латинской буквой со стрелкой или чертой сверху (например, \(\vec{a}\)) либо двумя точками — началом и концом (\(\overrightarrow{AB}\)). Число координат вектора равно размерности пространства: на плоскости вектор имеет две координаты, в трёхмерном пространстве — три. Запись \(\vec{a} = (x; y; z)\) означает, что вектор имеет координаты \(x\), \(y\) и \(z\) по соответствующим осям.
Координаты вектора не следует путать с координатами точки. Точка задаёт положение в пространстве относительно начала отсчёта, а вектор задаёт смещение. При этом координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) вычисляются как разность координат конца и начала: если \(A(x_1; y_1)\), а \(B(x_2; y_2)\), то \(\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)\).
¶Способы задания вектора
Существует несколько равнозначных способов задать вектор:
- Геометрический — направленным отрезком на чертеже.
- Координатный — упорядоченным набором чисел.
- Через разложение по базису — суммой произведений координат на единичные векторы (орты) осей.
В прямоугольной декартовой системе координат используются орты \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\), направленные вдоль осей \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\). Тогда любой вектор представим в виде \(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\), где \(x\), \(y\), \(z\) — те же координаты вектора. Такое разложение удобно тем, что позволяет выполнять действия над векторами как над алгебраическими выражениями.
¶Действия над векторами в координатах
Координатная форма существенно упрощает операции. Если \(\vec{a} = (x_1; y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2; y_2)\), то:
| Операция | Формула в координатах | ||
|---|---|---|---|
| Сложение | \(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2;\ y_1 + y_2)\) | ||
| Вычитание | \(\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2;\ y_1 - y_2)\) | ||
| Умножение на число \(k\) | \(k\vec{a} = (kx_1;\ ky_1)\) | ||
| Скалярное произведение | \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\) | ||
| Длина (модуль) | \( | \vec{a} | = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\) |
Аналогичные формулы действуют и в трёхмерном случае — добавляется третья координата. Скалярное произведение через координаты позволяет находить угол между векторами: \(\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\). Условие перпендикулярности — равенство нулю скалярного произведения, условие коллинеарности — пропорциональность соответствующих координат.
¶Свойства координат вектора
Координаты вектора обладают рядом важных свойств:
- Единственность. В заданном базисе координаты вектора определены однозначно.
- Равенство векторов. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.
- Независимость от положения. При параллельном переносе вектора его координаты не меняются, поскольку меняются лишь координаты начала и конца, а их разность сохраняется.
- Линейность. Операции сложения и умножения на число выполняются покоординатно, что делает множество векторов линейным пространством.
Именно последнее свойство лежит в основе линейной алгебры: векторы рассматриваются как элементы векторного пространства, а их координаты — как компоненты в выбранном базисе.
¶Применение
Координатное представление векторов широко используется в самых разных областях:
- Аналитическая геометрия — составление уравнений прямых и плоскостей, вычисление расстояний и углов.
- Физика — описание скорости, ускорения, силы, напряжённости поля; разложение движения на независимые составляющие по осям.
- Компьютерная графика — задание положения, перемещения и ориентации объектов в двумерных и трёхмерных сценах.
- Навигация и геодезия — определение направлений и смещений на местности.
- Машинное обучение — представление объектов в виде векторов признаков (так называемых эмбеддингов).
В инженерных расчётах координатный метод позволяет свести геометрическую задачу к системе уравнений и решить её алгебраически, что особенно удобно при работе с вычислительной техникой.
¶Связь с другими понятиями
Координаты вектора тесно связаны с понятиями базиса и размерности пространства. Совокупность \(n\) линейно независимых векторов образует базис \(n\)-мерного пространства, и любой вектор единственным образом раскладывается по этому базису. В ортонормированном базисе, где векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину, вычисления особенно просты, а формулы для длины и скалярного произведения принимают наиболее компактный вид.
Отдельного внимания заслуживает переход от одной системы координат к другой — при повороте осей или смене базиса координаты вектора преобразуются по определённым правилам, описываемым матрицей перехода. Это понятие лежит в основе аналитической геометрии и теории линейных преобразований.
¶Источники
- Учебники по аналитической геометрии и линейной алгебре для вузов.
- Школьные курсы геометрии (раздел «Векторы»).
- Справочники по математике и физике.
- Материалы по компьютерной графике и обработке данных.