Уровень Ферми в физике¶

Уровень Ферми — это энергетический уровень, вероятность заполнения которого электронами (или другими фермионами) равна 1/2 при тепловом равновесии. Понятие введено в физику твёрдого тела и статистическую физику для описания распределения частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака. Уровень Ферми является ключевой характеристикой металлов, полупроводников, а также вырожденных систем, таких как электронный газ в белых карликах или нейтронное вещество в нейтронных звёздах.

¶Физический смысл

Фермионы — частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны) — подчиняются принципу Паули: в одном квантовом состоянии не может находиться более одной частицы. Поэтому при абсолютном нуле температуры электроны в металле заполняют все состояния с энергией ниже некоторого максимального значения, называемого энергией Ферми (E_F). Уровень Ферми в этом случае совпадает с границей заполнения.

Вероятность заполнения состояния с энергией E описывается функцией распределения Ферми — Дирака:

f(E) = 1 / (exp((E − μ) / kT) + 1),

где μ — химический потенциал, k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура. При T = 0 функция имеет ступенчатый вид: все состояния ниже μ заполнены (f = 1), выше — пусты (f = 0). При повышении температуры ступенька размывается, и уровень Ферми оказывается той энергией, при которой f = 1/2.

В металлах уровень Ферми лежит внутри разрешённой зоны и обычно составляет несколько электронвольт относительно дна зоны проводимости. Например, для меди энергия Ферми около 7 эВ, для натрия — около 3,2 эВ. Соответствующая температура Ферми (E_F / k) достигает десятков тысяч кельвинов, что намного превышает комнатную температуру. Именно поэтому электронный газ в металлах называют вырожденным: тепловое движение затрагивает лишь узкую полосу состояний вблизи уровня Ферми шириной порядка kT.

¶Уровень Ферми в полупроводниках

В собственных (беспримесных) полупроводниках уровень Ферми располагается примерно посередине запрещённой зоны. Его положение зависит от температуры и эффективных масс электронов и дырок. При легировании картина меняется:

• в полупроводниках n-типа (донорная примесь) уровень Ферми смещается вверх, к дну зоны проводимости;
• в полупроводниках p-типа (акцепторная примесь) он смещается вниз, к потолку валентной зоны.

Положение уровня Ферми определяет концентрацию носителей заряда и, следовательно, электрические свойства материала. Это лежит в основе работы диодов, транзисторов, солнечных элементов и других полупроводниковых приборов. При контакте двух материалов с разными уровнями Ферми происходит перераспределение зарядов до выравнивания химического потенциала, что создаёт контактную разность потенциалов и изгиб зон.

¶Методы определения

Экспериментально положение уровня Ферми изучают несколькими способами:

• Фотоэлектронная спектроскопия — измерение энергии вылетающих электронов при облучении образца.
• Туннельная спектроскопия — анализ вольт-амперных характеристик туннельного контакта.
• Измерение работы выхода — метод Кельвина и родственные методики.
• Эффект Холла — позволяет оценить концентрацию носителей, связанную с положением уровня Ферми.

Теоретически уровень Ферми рассчитывают в рамках зонной теории, метода функционала плотности и моделей свободного электронного газа.

¶Уровень Ферми в астрофизике

Понятие применяется не только к электронам в кристаллах. В астрофизике энергия Ферми определяет давление вырожденного электронного газа, которое противостоит гравитационному сжатию в белых карликах. Для нейтронных звёзд аналогичную роль играет вырожденный нейтронный газ. Предел Чандрасекара — максимальная масса белого карлика — напрямую связан с энергией Ферми составляющих его электронов.

¶Связанные понятия

С уровнем Ферми тесно связаны:

Поверхность Ферми — геометрическое место точек в пространстве волновых векторов, где энергия равна E_F. Её форма определяет многие свойства металла: электропроводность, магнитное сопротивление, поведение в сильных магнитных полях. Изучение поверхности Ферми методами циклотронного резонанса и эффекта де Хааза — ван Альфена составляет отдельную область физики конденсированного состояния.

¶Значение

Понятие уровня Ферми связывает микроскопическую квантовую статистику с макроскопическими свойствами вещества. Оно используется при расчёте проводимости, теплоёмкости, термоэлектрических явлений, при проектировании полупроводниковых приборов и в физике плазмы. В химии положение уровня Ферми соотносится с электроотрицательностью и границей между занятыми и свободными орбиталями в молекулах, что роднит его с понятием граничной орбитали в теории молекулярных орбиталей.

Источники: учебники по физике твёрдого тела (Ч. Киттель, Н. Ашкрофт и Н. Мермин), курсы статистической физики (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц), справочные материалы по полупроводниковой электронике.