Уравнение прямой на плоскости и в пространстве¶

Уравнение прямой — алгебраическое соотношение, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на данной прямой, и только они. Прямая является одним из базовых объектов аналитической геометрии; её описание через уравнения связывает геометрические свойства линии с алгебраическими операциями над координатами. В зависимости от размерности пространства и выбранной системы координат применяются различные формы записи: общее, каноническое, параметрическое, с угловым коэффициентом.

¶Уравнение прямой на плоскости

На плоскости прямая задаётся линейным уравнением относительно двух переменных x и y.

¶Общее уравнение

Общее уравнение прямой имеет вид:

Ax + By + C = 0,

где A, B, C — действительные числа, причём A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A, B) является нормальным вектором прямой — он перпендикулярен ей. Если C = 0, прямая проходит через начало координат.

¶Уравнение с угловым коэффициентом

Если B ≠ 0, общее уравнение можно разрешить относительно y:

y = kx + b,

где k = −A/B — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс), b — ордината точки пересечения с осью Oy. Вертикальные прямые в такой форме записать нельзя: для них B = 0, и уравнение принимает вид x = c.

¶Уравнение в отрезках

Если A, B и C отличны от нуля, уравнение приводится к виду:

x/a + y/b = 1,

где a и b — отрезки, отсекаемые прямой на осях Ox и Oy соответственно.

¶Через точку и нормальный вектор

Прямая, проходящая через точку M₀(x₀, y₀) с нормальным вектором (A, B), описывается уравнением:

A(x − x₀) + B(y − y₀) = 0.

¶Через две точки

Прямая, проходящая через точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂), при x₁ ≠ x₂ задаётся соотношением:

(x − x₁)/(x₂ − x₁) = (y − y₁)/(y₂ − y₁).

При x₁ = x₂ прямая вертикальна и имеет уравнение x = x₁.

¶Уравнение прямой в пространстве

В трёхмерном пространстве прямая задаётся пересечением двух плоскостей либо через точку и направляющий вектор.

¶Общие уравнения

Система двух линейных уравнений

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

задаёт прямую как линию пересечения двух плоскостей, если плоскости не параллельны.

¶Каноническое уравнение

Если известны точка M₀(x₀, y₀, z₀) на прямой и направляющий вектор (l, m, n), каноническое уравнение записывается как:

(x − x₀)/l = (y − y₀)/m = (z − z₀)/n.

Каждое из отношений равно параметру, что приводит к параметрической форме:

x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt,

где t — действительный параметр. Эта форма удобна для вычисления точек пересечения прямой с плоскостями и поверхностями.

¶Взаимное расположение прямых

На плоскости две прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо совпадают. Условие параллельности: A₁/A₂ = B₁/B₂. Условие перпендикулярности: A₁A₂ + B₁B₂ = 0, то есть скалярное произведение нормальных векторов равно нулю.

В пространстве добавляется случай скрещивающихся прямых, не лежащих в одной плоскости. Две прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны; перпендикулярны, если скалярное произведение направляющих векторов равно нулю.

Угол между прямыми определяется через угол между их направляющими (или нормальными) векторами с помощью скалярного произведения и вычисляется по формуле косинуса угла между векторами.

¶Расстояние от точки до прямой

На плоскости расстояние от точки M(x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0 равно:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).

В пространстве расстояние от точки до прямой вычисляется через векторное произведение направляющего вектора прямой и вектора, соединяющего точку на прямой с заданной точкой, делённое на длину направляющего вектора.

¶Применение

Уравнения прямых используются в аналитической геометрии, линейной алгебре, компьютерной графике, картографии, навигации, физике и инженерии. В машинном обучении линейная регрессия строит прямую (или гиперплоскость), наилучшим образом приближающую набор данных. В компьютерной графике уравнения прямых лежат в основе алгоритмов растеризации отрезков, отсечения и построения проекций. В геодезии и навигации прямые применяются при построении маршрутов и определении направлений.

¶Историческая справка

Метод координат, связывающий геометрию с алгеброй, был систематически изложен Рене Декартом в работе «Геометрия» (1637). Идея представления геометрических объектов уравнениями позволила свести задачи о пересечениях, расстояниях и углах к алгебраическим вычислениям. Дальнейшее развитие аналитическая геометрия получила в трудах Пьера Ферма, Леонарда Эйлера и последующих математиков. В России курс аналитической геометрии вошёл в университетские программы с XIX века; значительный вклад в его изложение внесли российские математики и педагоги.

¶Связанные понятия

С уравнением прямой тесно связаны понятия вектора, скалярного и векторного произведения, системы линейных уравнений, определителя, углового коэффициента. Прямая является частным случаем более общих объектов: гиперплоскости в многомерном пространстве и геодезической линии на поверхностях.

Источники: учебники по аналитической геометрии, курсы линейной алгебры, математические энциклопедии.