Угол в геометрии¶

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки; в более общем понимании — величина, характеризующая поворот одной прямой относительно другой. Точка, из которой исходят лучи, называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами. Угол измеряется в градусах, градах или радианах и обозначается символом ∠.

¶Основные определения

Угол α (альфа) — наименьшая часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общей начальной точкой. Если обозначить вершину буквой O, а точки на сторонах — A и B, угол записывают как ∠AOB. В школьной геометрии под углом также понимают величину поворота одного из лучей до совмещения со вторым.

Различают углы в зависимости от их величины:

¶Измерение углов

Единицей измерения углов в системе СИ является стерадиан (стер), однако на практике чаще используют градусную меру. Полный оборот соответствует 360° или 2π радианам. Градус делится на 60 минут, минута — на 60 секунд. В математике и физике радианы предпочтительнее, поскольку упрощают формулы тригонометрии: например, производная синуса равна косинусу именно при аргументе в радианах.

Для измерения углов применяют транспортир — чертёжный инструмент в виде полудиска с градусной шкалой. В строительстве и ремесле используют угломеры, в том числе электронные. Астрономические и геодезические измерения выполняют теодолитами и нивелирами.

¶Свойства и теоремы

Ключевые факты евклидовой геометрии об углах:

• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Сумма вертикальных углов равна 180°, при этом вертикальные углы попарно равны.
• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n − 2) · 180°.

При пересечении двух прямых образуется восемь углов; попарно равные из них называются вертикальными, а дополняющие до 180° — смежными.

¶Тригонометрические функции

Угол является аргументом основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Они определяются через отношение сторон прямоугольного треугольника (для острых углов) или через координаты точки на единичной окружности (для произвольных углов). Тригонометрия возникла в астрономии для вычисления положений светил и получила широкое применение в физике, инженерии, теории колебаний и волновом анализе.

¶Углы в стереометрии

В пространственной геометрии рассматриваются углы между прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями, а также углы многогранников. Угол между двумя плоскостями измеряется как угол между перпендикулярами, проведёнными к ним в точке пересечения. Правильные многогранники — куб, тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр — характеризуются равными углами между гранями.

¶Применение

Углы играют центральную роль в архитектуре и строительстве: от уклона кровли до раскрыва оконных проёмов. В механике через углы задают положение звеньев механизмов, в авиации — углы атаки и крена самолёта, в мореплавании — курсовые углы. Понятие угла лежит в основе триангуляции — метода определения расстояний и положений, применяемого в геодезии и навигации.

¶Историческая справка

Понятие угла восходит к «Началам» Евклида (около 300 года до н. э.), где оно определяется как наклонение одной прямой к другой, лежащей в одной с ней плоскости. Вавилонские и египетские математики использовали градусную систему задолго до Евклида: шестидесятеричная система счисления, давшая деление круга на 360 частей, была унаследована от шумеров.

¶Источники

• Евклид. Начала.
• Киселёв А. П. Геометрия.
• Пономарёв Л. И. Справочник по элементарной геометрии.
• Зайцев В. Ф. Планиметрия.
• Гмурман В. Е. Справочник по элементарной математике.