Тривиальность — понятие в математике и логике¶

Тривиально — характеристика утверждения, задачи или объекта, означающая, что он либо очевиден, либо вырожден (особый, предельно простой случай). В математике, логике и информатике термин «тривиальный» (от лат. trivialis — «обычный, общеизвестный», буквально «находящийся на трёхпутном перекрёстке») употребляется для обозначения случаев, не представляющих интереса, поскольку либо доказываются «на глазах», либо вырождаются в пустое или нулевое утверждение.

¶Содержание понятия

В строгом математическом смысле «тривиально» не является абсолютной категорией: то, что тривиально для специалиста, может быть нетривиальным для студента первого курса. Тем не менее в математическом сообществе существует устоявшееся понимание, какие случаи считаются тривиальными.

К тривиальным относятся:

• Тождественные истинности — утверждения, истинные по определению, например «каждое число равно самому себе».
• Вырожденные случаи — предельные ситуации, в которых объект теряет основные свойства: пустое множество, граф без рёбер, кольцо, сводящееся к нулю, многочлен нулевой степени.
• Очевидные доказательства — рассуждения, укладывающиеся в одну-две строки и не требующие нетривиальных идей.

Выражение «тривиально и оставляется читателю в качестве упражнения» стало известным клише математических учебников, иногда употребляемым иронично: под «тривиальными» нередко скрываются задачи, решение которых на самом деле требует аккуратности.

¶Тривиальные и нетривиальные объекты в математике

¶В теории множеств

Пустое множество — тривиальный пример множества. Оно содержится в любом множестве, и многие утверждения о нём носят вырожденный характер: например, его кардинальность равна нулю, а пересечение с любым другим множеством снова пусто.

¶В алгебре

Тривиальными группами называют группы, состоящие из одного элемента — нейтрального. Тривиальным кольцом является кольцо, в котором 0 = 1. В теории колец и модулей тривиальными называют идеалы {0} и всё кольцо. Подобные случаи обычно исключают из рассмотрения, когда формулируются нетривиальные теоремы: например, в определении простого кольца прямо требуют, чтобы кольцо не было тривиальным.

¶В теории графов

Граф без рёбер (в том числе граф, состоящий из изолированных вершин) считается тривиальным. Гамильтонов путь в графе из одной вершины тривиален. Задача о раскраске графа тривиальна, если все вершины можно покрасить одним цветом.

¶В топологии

Тривиальными топологиями называют грубую топологию (единственные открытые множества — пустое и всё пространство) и топологию, состоящую только из пустого множества. Топологическое пространство с такой топологией считается вырожденным.

¶В теории чисел

Уравнение x = 0 тривиально имеет корень x = 0. Задача «найти простое число» тривиальна в том смысле, что примеры привести легко (2, 3, 5), тогда как, скажем, поиск простого числа с заданными свойствами может быть нетривиальной задачей.

¶Тривиальность в логике и информатике

В математической логике тривиально истинными (таутологиями) называют формулы, истинные при любом наборе значений переменных. Классический пример — «A или не A». В предикатной логике тривиальными считаются утверждения, вытекающие из противоречивого набора предпосылок: из ложного следует что угодно (принцип взрыва).

В теории сложности вычислений тривиальными алгоритмами называют алгоритмы с очевидной корректностью и простотой — например, линейный перебор для задачи поиска элемента в неупорядоченном массиве. Хотя такие решения формально работают, они часто служат отправной точкой для поиска более эффективных методов.

В программировании тривиальный код — это код, не содержащий сложной логики: инициализация переменных, простые циклы, прямолинейные вычисления. Тривиальными багами называют ошибки, вызванные опечатками или невнимательностью (например, = вместо ==).

¶Роль понятия в математической культуре

Указание на тривиальность выполняет несколько функций в научном тексте:

1. Экономия места — позволяет опустить очевидные шаги рассуждения.
2. Отделение сути — выделяет нетривиальное ядро доказательства или построения.
3. Маркировка вырожденных случаев — сигнализирует, что случай исключается из общего утверждения.

Иногда утверждение «это тривиально» подвергается критике: в истории математики встречались случаи, когда «тривиальные» утверждения оказывались ложными или содержали глубокие трудности. Известна полемика вокруг «тривиальных» шагов в некоторых доказательствах, где под тривиальностью скрывались нетривиальные предпосылки.

¶См. также

• Вырожденный случай
• Тотождество
• Тautология
• Принцип взрыва

¶Источники

• Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: Дрофа, 2006.
• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1992.
• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970.
• Энциклопедический словарь математических терминов.