Тригонометрические формулы и тождества¶

Тригонометрические формулы — совокупность математических соотношений, связывающих тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс, а также секанс и косеканс) между собой и с их аргументами. Они образуют основу тригонометрии и широко применяются в геометрии, физике, инженерии, астрономии и анализе. Формулы позволяют упрощать выражения, преобразовывать суммы функций в произведения и обратно, вычислять значения функций от составных углов и решать уравнения.

¶Основные тождества

Базой всех преобразований служат соотношения, вытекающие из определений функций на единичной окружности.

• Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.
• Связь тангенса и котангенса с синусом и косинусом: tg α = sin α / cos α, ctg α = cos α / sin α.
• Соотношение между тангенсом и котангенсом: tg α · ctg α = 1.
• Производные тождества: 1 + tg²α = 1/cos²α, 1 + ctg²α = 1/sin²α.

Эти равенства справедливы для всех допустимых значений угла, при которых знаменатели не обращаются в нуль.

¶Формулы сложения и вычитания

Формулы сложения выражают функции суммы и разности двух углов через функции самих углов:

• sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β;
• cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β;
• tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α tg β).

Из них выводятся формулы двойного и половинного аргумента. Например, sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α − sin²α. Формулы половинного угла позволяют понижать степень: sin²α = (1 − cos 2α)/2, cos²α = (1 + cos 2α)/2.

¶Формулы приведения

Формулы приведения позволяют выразить функцию угла вида (π/2 ± α), (π ± α), (3π/2 ± α), (2π ± α) через функцию угла α. Их удобно запоминать по правилу: при углах π/2 и 3π/2 функция меняется на кофункцию (синус на косинус и наоборот), при углах π и 2π — сохраняется; знак определяется по четверти, в которой находится исходный угол. Например, sin(π/2 + α) = cos α, cos(π − α) = −cos α.

¶Преобразование сумм в произведения

Эти формулы применяются для факторизации и решения уравнений:

• sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2);
• sin α − sin β = 2 sin((α − β)/2) cos((α + β)/2);
• cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2);
• cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2).

Обратные преобразования — произведения в сумму — также широко используются, например в интегральном исчислении.

¶Универсальная подстановка

Выражение всех тригонометрических функций через тангенс половинного угла t = tg(α/2) называется универсальной тригонометрической подстановкой:

• sin α = 2t/(1 + t²);
• cos α = (1 − t²)/(1 + t²);
• tg α = 2t/(1 − t²).

Приём сводит многие тригонометрические уравнения к рациональным относительно t.

¶Применение

Тригонометрические формулы лежат в основе решения треугольников (теоремы синусов и косинусов), описания колебаний и волн, разложения функций в ряды Фурье, расчётов в электротехнике и радиотехнике, навигации и астрономии. В анализе они используются при вычислении производных и интегралов, при переходе к полярным координатам и в задачах с периодическими процессами.

¶История

Отдельные тригонометрические соотношения были известны ещё в античности — в работах астрономов Греции, Индии и средневекового Востока, где составлялись таблицы хорд и синусов. Современный вид формулы приобрели в Европе в XVI–XVIII веках; систематизацию и введение привычных обозначений связывают с именами Леонарда Эйлера и его предшественников. Термин «синус» восходит к латинскому переводу арабского слова.

¶Связь с комплексными числами

Формула Эйлера e^(iφ) = cos φ + i sin φ связывает тригонометрические функции с экспонентой комплексного аргумента. Из неё выводятся выражения sin φ = (e^(iφ) − e^(−iφ))/(2i) и cos φ = (e^(iφ) + e^(−iφ))/2, что упрощает доказательство многих тождеств и используется в теории сигналов.

¶Значение в образовании

В российской школьной программе тригонометрические формулы изучаются в курсе алгебры и начал анализа старших классов. Их освоение необходимо для сдачи единого государственного экзамена по математике и для дальнейшего изучения высшей математики в вузах. Тема считается одной из наиболее объёмных по числу заучиваемых соотношений, поэтому акцент делается на вывод формул из базовых тождеств, а не на механическое запоминание.

Источники: учебники алгебры и начал анализа для средней школы, справочники по элементарной математике, математические энциклопедии.