Точки экстремума функции¶

Точки экстремума — это точки области определения функции, в которых её значение принимает локальный максимум или локальный минимум. Точка \(x_0\) называется точкой максимума, если существует такая окрестность этой точки, что для всех \(x\) из неё выполняется неравенство \(f(x) \le f(x_0)\). Аналогично точка \(x_0\) называется точкой минимума, если в некоторой окрестности выполняется \(f(x) \ge f(x_0)\). Значение функции в такой точке называют соответственно максимумом или минимумом, а вместе их объединяют термином «экстремум» (от латинского extremum — «крайнее»).

Понятие экстремума относится к локальным свойствам функции: оно описывает поведение графика вблизи конкретной точки, а не на всём промежутке. Это отличает экстремум от наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, которые называют глобальными (абсолютными) максимумом и минимумом.

¶История и происхождение понятия

Задачи на отыскание наибольших и наименьших величин возникли задолго до появления математического анализа. Ещё в античности решались геометрические задачи о построении фигур с максимальной площадью при заданном периметре. Систематический аппарат для исследования экстремумов создали в XVII веке в рамках дифференциального исчисления. Пьер Ферма сформулировал правило отыскания касательной и заметил, что в точке экстремума касательная горизонтальна. Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц развили общий метод, связав экстремумы с производной. В дальнейшем Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж распространили эти идеи на функции многих переменных и на задачи с ограничениями, заложив основы вариационного исчисления.

¶Необходимое условие экстремума

Если функция дифференцируема в точке \(x_0\) и имеет в ней локальный экстремум, то её производная в этой точке равна нулю:

\[ f'(x_0) = 0. \]

Это утверждение называют теоремой Ферма. Точки, в которых производная равна нулю, называют стационарными. Однако условие не является достаточным: например, для функции \(f(x) = x^3\) производная обращается в нуль при \(x = 0\), но экстремума там нет — функция монотонно возрастает.

Экстремум может достигаться и в точках, где производная не существует. Так, функция \(f(x) = |x|\) имеет минимум при \(x = 0\), хотя производной в этой точке нет. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими. Именно среди критических точек и следует искать экстремумы.

¶Достаточные условия

Существует несколько способов установить, является ли критическая точка точкой экстремума.

Первый признак основан на смене знака первой производной. Если при переходе через точку \(x_0\) производная меняет знак с плюса на минус, то \(x_0\) — точка максимума; если с минуса на плюс — точка минимума; если знак не меняется, экстремума нет.

Второй признак использует вторую производную. Если \(f'(x_0) = 0\) и \(f''(x_0) < 0\), то \(x_0\) — точка максимума; если \(f''(x_0) > 0\) — точка минимума. При \(f''(x_0) = 0\) требуется дополнительное исследование.

¶Классификация

Различают следующие виды точек:

• Точка локального максимума — значение функции в ней не меньше значений в близких точках.
• Точка локального минимума — значение функции в ней не больше значений в близких точках.
• Точка глобального (абсолютного) экстремума — наибольшее или наименьшее значение на всей области определения.
• Точка перегиба — точка, где меняется направление выпуклости; экстремумом не является, хотя вторая производная может обращаться в нуль.

Для функций многих переменных экстремумы делят на безусловные и условные. В последнем случае ищут экстремум при наличии дополнительных ограничений, для чего применяют метод множителей Лагранжа.

¶Примеры

Рассмотрим функцию \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Её производная \(f'(x) = 2x - 4\) обращается в нуль при \(x = 2\). Вторая производная равна 2, то есть положительна, значит \(x = 2\) — точка минимума, а минимальное значение равно \(-1\).

Для функции \(f(x) = -x^2 + 6x\) производная \(f'(x) = -2x + 6\) равна нулю при \(x = 3\). Вторая производная отрицательна, поэтому \(x = 3\) — точка максимума со значением 9.

Функция \(f(x) = x^3 - 3x\) имеет производную \(f'(x) = 3x^2 - 3\), которая обращается в нуль при \(x = -1\) и \(x = 1\). При \(x = -1\) производная меняет знак с плюса на минус (максимум), при \(x = 1\) — с минуса на плюс (минимум).

¶Применение

Понятие экстремума широко используется в прикладных задачах. В экономике с его помощью находят максимум прибыли или минимум издержек, в физике — точки устойчивого равновесия и минимальной потенциальной энергии, в инженерии — оптимальные параметры конструкций. Методы поиска экстремума лежат в основе оптимизации, численных алгоритмов (например, метода градиентного спуска) и машинного обучения, где требуется минимизировать функцию ошибки.

¶Связанные понятия

С экстремумами тесно связаны монотонность функции, выпуклость графика, а также теоремы Ролля, Лагранжа и Коши, составляющие основу дифференциального исчисления. Обобщением классического понятия служат экстремумы функционалов в вариационном исчислении и задачи оптимального управления.

Источники: учебники по математическому анализу, справочники по высшей математике, энциклопедические издания по математике.