Теорема Ферма¶
Теорема Ферма — обобщённое название ряда утверждений математического анализа, элементарной теории чисел и геометрии, сформулированных французским математиком Пьером де Ферма (1601—1665) в XVII веке. Наиболее известны две теоремы Ферма: последняя теорема Ферма (о невозможности представления степени выше второй в виде суммы двух степеней тех же степеней) и малая теорема Ферма (основа современной криптографии). Термин «теорема Ферма» без уточнения обычно означает последнюю теорему.
¶Последняя теорема Ферма
¶Формулировка
Уравнение $x^n + y^n = z^n$ не имеет нетривиальных решений в целых числах при $n > 2$. То есть не существует таких целых положительных чисел $x$, $y$, $z$, при которых сумма $n$-х степеней двух чисел равна $n$-й степени третьего, если $n$ строго больше двух. При $n = 2$ уравнение имеет бесконечно много решений — это тройки Пифагора, например $(3, 4, 5)$.
¶История
Пьер де Ферма, работая над переводом «Арифметики» Диофанта, в 1637 году сделал на полях рукописи заметку, ставшую самой знаменитой в истории математики. Ферма написал, что обнаружил «воистину чудесное доказательство», которое, однако, слишком велико, чтобы поместиться на полях. Ни одно рукописное доказательство Ферма до наших дней не дошло.
На протяжении более 350 лет математики пытались найти доказательство. Были опровергнуты многочисленные ошибочные попытки, в том числе предпринятые Лежандром, Дюбуа-Реймоном, Фалькенбургом и другими. В 1847 году на заседании Парижской академии наук произошёл скандал: математик Ламе объявил о доказательстве, но Кожи указал на ошибку в его рассуждениях, а сам Ламе признал поражение. Вскоре после этого Лежанд умер.
Частные случаи теоремы доказывались постепенно: Эйлер доказал случай $n = 3$ (с некоторыми пробелами, позже восполненными Лежандром), Лежанд и Дирхлет — $n = 5$, Куммер — для целого ряда показателей, включая все простые до 100, кроме 37, 59 и 67. Куммер ввёл понятие идеального числа, заложив основы алгебраической теории чисел.
¶Доказательство Эндрю Уайлса
Полное доказательство теоремы было получено Эндрю Уайлсом (род. 1953) в 1994 году и опубликовано в 1995 году в журнале Annals of Mathematics. Уайлс доказал модульную теорему (ранее гипотезу Танима—Симоны), которая влечёт последнюю теорему Ферма как частный случай. Работа опиралась на результаты Кеннета Рибета, показавшего в 1986 году связь между гипотезой Фрейя и теоремой Ферма.
Первая версия доказательства, представленная в 1993 году, содержала пробел, обнаруженный рецензентами. Уайлс совместно с Ричардом Тейлором исправил его в 1994 году. В 1998 году Уайлс получил за эту работу премию Вольфа, а в 2016 году — премию Абеля.
¶Малая теорема Ферма
¶Формулировка
Если $p$ — простое число, а $a$ — целое, не делящееся на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Эквивалентная форма: для любого целого $a$ верно $a^p \equiv a \pmod{p}$.
¶История и значение
Теорема была сформулирована Ферма в 1640 году в письме к Френеклю. Первое полное доказательство принадлежит Лейбницу (1683), позже теорема была доказана Эйлером (1736). Обобщениями малой теоремы Ферма являются теорема Эйлера и теорема Вильсона.
Малая теорема Ферма лежит в основе современной криптографии. На ней построен алгоритм RSA, используемый для шифрования данных в интернет-коммуникациях, электронной подписи и защищённых протоколах. Также теорема применяется в тестах простоты, в частности в тесте Ферма и тесте Миллера — Рабина.
¶Другие теоремы Ферма
¶Теорема Ферма об огибающей параболы
В элементарной математике «теоремой Ферма» иногда называют утверждение о том, что касательная к параболе отсекает от оси параболы отрезок, делится точкой касания пополам. Это свойство было известно ещё Архимеду, но Ферма сформулировал его в более общей форме для произвольных квадратичных кривых.
¶Принцип Ферма (наименьшего времени)
Принцип Ферма в оптике гласит, что луч света при переходе из одной среды в другую выбирает путь, на котором время пробега минимально (или стационарно). Из этого принципа выводятся законы отражения и преломления, в том числе закон Снелля. Принцип Ферма — частный случай принципа наименьшего действия в оптике.
¶Великая теорема Ферма о прямоугольных треугольниках
Ферма доказал, что для любого натурального $n > 2$ не существует прямоугольного треугольника с целыми сторонами и площадью, равной $n$-й степени натурального числа. Это утверждение доказывается методом бесконечного спуска, который Ферма разработал специально для этой задачи.
¶Метод бесконечного спуска
Метод бесконечного спуска — метод доказательства в теории чисел, предложенный Ферма. Суть метода: если из допущения о существовании некоторого нетривиального решения уравнения вытекает существование другого решения, «меньшего» первого в определённом смысле, то получается бесконечный убывающий ряд положительных целых чисел, что невозможно. Метод применялся Ферма для доказательства ряда частных случаев последней теоремы, в частности для случаев $n = 3$ и $n = 4$.
¶Интересные факты
- Среди математиков бытует шутка, что последняя теорема Ферма — единственная теорема, которую пытались доказать больше людей, чем пытались опровергнуть.
- Премия Вольфа в области математики, вручённая Уайлсу в 1998 году, составила 50 000 долларов. Премия Абеля 2016 года — 6 миллионов норвежских крон.
- В 2011 году в Японии была основана «Ассоциация окончательного опровержения последней теоремы Ферма» (Final Ultimate Theorem Society), членство в которой возможно только после доказательства теоремы. Её первым и пока единственным членом стал Эндрю Уайлс.
¶Источники
- Виленкин Н. Я. «В поисках бесконечности»
- Рид Д. «От нуля к бесконечности»
- Сингх С. «Великая теорема Ферма»
- Edwards H. M. «Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory»
- Математическая энциклопедия, т. 4