Тангенс угла — тригонометрическая функция¶

Тангенс угла — одна из основных тригонометрических функций, численно равная отношению синуса угла к его косинусу. Для острого угла прямоугольного треугольника тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Тангенс обозначается tg (лат. tangens — «касающийся») и является важнейшим понятием школьной математики, наряду с синусом и косинусом входя в основной набор тригонометрических функций.

¶Определение

¶В прямоугольном треугольнике

Для острого угла α прямоугольного треугольника:

tg α = a / b,

где a — катет, противолежащий углу α, а b — катет, прилежащий к этому углу. Такое определение справедливо для углов от 0° до 90° (не включая 90°, при котором прилежащий катет обращается в ноль).

¶Через синус и косинус

Для любого угла, при котором косинус не равен нулю:

tg α = sin α / cos α.

Это определение позволяет расширить область значений тангенса на произвольные углы, включая отрицательные и превышающие 360°.

¶На единичной окружности

При построении на единичной окружности тангенс угла α — это ордината точки пересечения касательной к окружности в точке (1; 0) с продолжением радиуса, проведённого под углом α к оси абсцисс. Отсюда и произошло название функции: латинское tangens означает «касающийся».

¶Область определения и область значений

Тангенс определён для всех углов, кроме тех, при которых cos α = 0, то есть α = 90° + 180°·n, где n — целое число (в градусной мере). В радианной мере это α = π/2 + π·n.

Область значений тангенса — вся числовая прямая: функция принимает любые вещественные значения от −∞ до +∞.

¶Основные свойства

Период тангенса равен π (или 180°), что отличает его от синуса и косинуса, период которых составляет 2π.

¶График функции

График тангенса (тангенсоида) состоит из бесконечного числа несвязных ветвей, каждая из которых определена на интервале (−π/2 + π·n; π/2 + π·n). Каждая ветвь строго возрастает от −∞ до +∞, проходя через нуль в точке α = π·n. В точках α = π/2 + π·n функция имеет вертикальные асимптоты x = π/2 + π·n.

¶Значения для стандартных углов

¶Арктангенс

Функция, обратная тангенсу, называется арктангенсом (обозначение arctg или tg⁻¹). Арктангенс определён на всей числовой прямой и принимает значения в интервале (−π/2; π/2). С его помощью можно восстановить угол по известному значению тангенса.

¶Применение

Тангенс применяется в широком спектре задач:

• Геометрия и тригонометрия — решение прямоугольных и произвольных треугольников, вычисление площадей и длин.
• Физика — расчёт уклонов и наклонов, определение составляющих векторов, задачи на движение по наклонной плоскости.
• Астрономия — вычисление высоты небесных тел над горизонтом.
• Геодезия — определение перепадов высот, построение профилей местности.
• Инженерное дело — расчёт уклонов трубопроводов и дорог, определение крутизны спусков.
• Компьютерная графика — преобразование координат, построение перспективных проекций.

¶Историческая справка

Понятие тангенса возникло в связи с задачами геометрии и астрономии. Индийские математики VI–VII веков использовали величину, эквивалентную котангенсу, при вычислениях тригонометрических таблиц. Термин «тангенс» ввёл датский математик Тихо Браге в конце XVI века. Развитие теории тангенса связано с именами Евклида (задачи на построение касательных), Птолемея, а позже — с работами Леонарда Эйлера, который предложил современное обозначение tg и сформулировал тангенс как отношение синуса к косинусу для произвольных углов.

¶Смежные функции

Котангенс (cot) — функция, обратная тангенсу: cot α = cos α / sin α = 1 / tg α. Секанс (sec) и косеканс (csc) дополняют набор шести основных тригонометрических функций, тесно связанных между собой.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сенокосов Б. Е. Математический анализ
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление
• Гмурман В. Е. Руководство по решению задач по математическому анализу