Степень в математике¶

Степень — математическая операция, заключающаяся в возведении числа (основания) в целую степень, то есть в многократном умножении основания на себя. Результат операции называется значением степени. Степень является одной из базовых операций арифметики и алгебры, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением.

¶Основные понятия

В выражении aⁿ компоненты операции имеют собственные названия:

• Основание (a) — число, которое умножается на себя;
• Показатель степени (n) — число, показывающее, сколько раз основание берётся в множитель;
• Значение степени — результат операции.

Например, в выражении 5³ основание равно 5, показатель степени — 3, а значение степени — 125, поскольку 5 × 5 × 5 = 125.

¶Целые показатели степени

¶Натуральный показатель

При натуральном показателе n степень определяется как произведение n сомножителей, каждый из которых равен основанию:

aⁿ = a · a · … · a (n раз).

Особый случай — показатель 1: любое число в первой степени равно самому себе (a¹ = a).

¶Нулевой показатель

По определению любое ненулевое число в нулевой степени равно единице:

a⁰ = 1 при a ≠ 0.

Выражение 0⁰ в элементарной математике обычно считается неопределённым, хотя в ряде разделов математики (комбинаторика, теория пределов) ему придают значение 1.

¶Отрицательный показатель

Отрицательный показатель определяется через обратную величину:

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (при a ≠ 0).

Таким образом, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

¶Свойства степеней

Для произвольных оснований a и b и целых показателей m и n действуют следующие правила:

Эти свойства справедливы для любых целых показателей и любых оснований, при которых выражения имеют смысл (деление на ноль, возведение нуля в отрицательную степень и тому подобные случаи исключаются).

¶Рациональные показатели степени

Степень с рациональным показателем m/n определяется так:

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ.

Показатель 1/2 соответствует квадратному корню, 1/3 — кубическому корню и так далее. Для чётных корней основание должно быть неотрицательным, для нечётных — любым действительным числом.

¶Степень с действительным показателем

Показатель степени может быть любым действительным, а не только рациональным числом. Для положительного основания a и действительного показателя x степень определяется через показательную функцию:

aˣ = e^(x · ln a).

Такое определение позволяет, в частности, ввести иррациональные показатели и обеспечивает непрерывность функции aˣ по переменной x.

¶Степень с комплексным показателем

В теории комплексных чисел степень с комплексным основанием и показателем определяется через комплексный логарифм:

aᵇ = e^(b · Ln a),

где Ln — многозначный комплексный логарифм. Вследствие многозначности логарифма значение степени может не быть единственным; для получения однозначного результата выбирают главную ветвь логарифма.

¶Историческая справка

Понятие степени восходит к древнеегипетской и вавилонской математике: уже в папирусе Ахмеса (около 1650 года до н. э.) встречаются задачи на возведение чисел в квадрат и куб. Античные греки, в частности Евклид, рассматривали квадраты и кубы геометрически — как площади квадрата и объёмы куба при заданном ребре.

Современное экспоненциальное обозначение aⁿ появилось в трудах французского математика Франсуа Виета в конце XVI века, а окончательно утвердилось благодаря работам Рене Декарта (1637) и Леонарда Эйлера, предложившего в XVIII веке сокращённую запись для показателей и функций.

¶Применение

Степени используются повсеместно:

• Алгебра и анализ — полиномы, ряды, функции;
• Физика — законы всемирного тяготения (обратная квадратичная зависимость), законы отражения и преломления света, формулы подобия;
• Информатика — оценка сложности алгоритмов (степенная, экспоненциальная сложность), двоичная система счисления;
• Финансы — формулы сложных процентов, в которых баланс растёт по закону a(1 + i)ⁿ;
• Химия — закон действия масс, в котором концентрации возводятся в степень, равную стехиометрическим коэффициентам.

¶Частные случаи

Квадрат (степень 2) и куб (степень 3) исторически рассматривались отдельно и имеют собственные названия. Степень 4 иногда называют биквадратом. Степень n соответствует объёму n-мерного гиперкуба при единичном ребре, что связывает алгебраическое понятие степени с геометрией высших измерений.

Источники:

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сенокосов Б. Е. Математический анализ.
• Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Математика. 5—6 классы.
• Энциклопедический словарь юного математика.
• Гмурман В. Е. Учебник по элементарной математике.