Шар — геометрическое тело вращения¶

Шар — это геометрическое тело, образованное вращением полукруга вокруг его диаметра; в трёхмерном евклидовом пространстве множество всех точек, расстояние от которых до данной точки (центра) не превышает заданного положительного числа (радиуса). Шар относится к телам вращения и является частным случаем эллипсоида, а также сферы — замкнутой поверхности, ограничивающей шар. Шар обладает полной сферической симметрией: любая его точка может быть переведена в любую другую поворотом вокруг центра.

¶Определение и свойства

Шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$ — это множество точек $M$ пространства, для которых выполняется неравенство $|OM| \le R$. Граница шара — сфера радиуса $R$ с тем же центром. Если неравенство строгое ($|OM| < R$), получается открытый шар.

Основные метрические свойства шара:

• Площадь сферы: $S = 4\pi R^2$.
• Объём шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
• Длина окружности большого круга: $L = 2\pi R$.

Формулы объёма и площади выводятся методами интегрального исчисления (например, методом сечений или вращения) и были известны ещё в Древней Греции: Архимед доказал, что объём шара равен $\frac{2}{3}$ объёма описанного цилиндра, а площадь сферы — $\frac{2}{3}$ площади боковой поверхности того же цилиндра.

¶Симметрия и преобразования

Шар — единственное тело вращения, обладающее полной ортогональной симметрией: группа его симметрий совпадает с ортогональной группой $O(3)$, то есть включает все повороты и отражения пространства, сохраняющие центр. Сфера, ограничивающая шар, является единственной замкнутой поверхностью, для которой все нормали проходят через общую точку — центр.

Проекция шара на любую плоскость — круг (для ортогональной проекции) или эллипс (для косой). Сечение шара любой плоскостью — круг, эллипс, точка или пустое множество.

¶Связь с другими телами

Шар является частным случаем:

• Эллипсоида — когда все три полуоси равны.
• Сфероида — когда две полуоси равны.
• Тела вращения — при вращении полукруга вокруг диаметра.

Обратная задача — вписать шар в многогранник или описать вокруг него — приводит к понятию вписанной и описанной сферы. Шар, касающийся всех граней правильного многогранника изнутри, называется вписанной сферой; шар, проходящий через все вершины, — описанной сферой.

¶Математические обобщения

В общей топологии и анализе понятие шара распространяется на пространства любой размерности: в $\mathbb{R}^n$ шар — это множество точек, расстояние до центра не превышает $R$. Объём $n$-мерного шара задаётся формулой:

$$V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} R^n$$

где $\Gamma$ — гамма-функция. При чётных и нечётных $n$ формула принимает вид, выраженный через факториалы и степени $\pi$. Интересно, что при $n \to \infty$ объём единичного шара стремится к нулю, а почти вся его масса сосредоточена у поверхности.

В метрической геометрии шар — это единственный замкнутый ограниченный набор, являющийся одновременно выпуклым и симметричным относительно центра.

¶Применение

¶В физике и технике

Шар — базовая модель для описания множества объектов: от планет и звёзд (в первом приближении) до подшипников качения, снарядов и капель жидкости. В механике шары используются в шаровых опорах, шаровых кранах и подшипниках, где сферическая форма обеспечивает равномерное распределение нагрузки и свободу вращения вокруг центра.

¶В спорте

Сферическая форма характерна для мячей в футболе, баскетболе, волейболе, теннисе, гандболе и других играх. Стандартные футбольные мячи имеют форму, близкую к шару, хотя современные конструкции с панелями геометрически являются многогранниками, приближающимися к сфере.

¶В астрономии

Планеты и звёзды в первом приближении считаются шарами: гравитация приводит тела к сферической форме, если их масса достаточно велика, чтобы преодолеть прочность материала. Отклонения от шарообразной формы (сплюснутость в результате вращения) характерны для быстро вращающихся тел, таких как Земля.

¶В химии и кристаллографии

Атомы и молекулы в ряде моделей (например, в модели кристаллических решёток) рассматриваются как шары. Концепция «сферических атомов» лежит в основе модели Ван-дер-Ваальса и объясняет упаковку частиц в кристаллах.

¶Интересные факты

• Архимед завещал выгравировать на своей надгробной плите изображение шара, вписанного в цилиндр, — соотношение объёмов и площадей которых он считал своей главной находкой.
• В трёхмерном пространстве шар — единственная фигура, которая при любом повороте вокруг центра совпадает с собой; это свойство называется изотропией.
• Задача о наименьшей плотной упаковке шаров (проблема Кеплера) была решена математически только в 1998 году Томасом Хейлсом.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Пономарёв Л. И. Задачи по элементарной геометрии.
• Архимед. О шаре и цилиндре.
• Хейлс Т. Доказательство гипотезы Кеплера, 1998.