Сечение — понятие геометрии и математики¶
Сечение — это понятие, обозначающее множество точек, общих для двух или более объектов (множеств, фигур, поверхностей), а также саму геометрическую фигуру, образуемую пересечением. В широком смысле сечением называют совпадающую часть объектов, лежащих в одной плоскости или проходящих через общую область. Термин применяется в геометрии, математическом анализе, стереометрии, черчении, а также в физике и технике.
¶Определение
В элементарной геометрии сечение — это фигура, получающаяся при пересечении тела (многогранника, тела вращения) с плоскостью. Если плоскость пересекает тело, то общая часть плоскости и тела называется сечением тела этой плоскостью. Сечение всегда является плоской фигурой: многоугольником, окружностью, эллипсом, параболой, гиперболой или их частями.
В теории множеств сечение (обозначение — $A \cap B$) — это множество всех элементов, принадлежащих одновременно множествам $A$ и $B$. Операция сечения обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности относительно объединения.
¶Сечение тела плоскостью
¶Многогранники
При пересечении многогранника с плоскостью сечение является выпуклым многоугольником. Число сторон сечения не превышает числа граней многогранника. Например, сечение куба плоскостью может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником или шестиугольником — но не более, поскольку у куба шесть граней.
Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, подобно основанию. Сечение конуса плоскостью, параллельной оси, — гипербола; при наклоне плоскости к оси — эллипс; при перпендикулярности — окружность.
¶Тела вращения
Для тел вращения сечения плоскостью имеют особые названия:
- Сечение — общее название фигуры пересечения;
- Осевое сечение — сечение, проходящее через ось тела вращения (для цилиндра — прямоугольник, для конуса — равнобедренный треугольник, для сферы — окружность);
- Меридианное сечение — сечение плоскостью, содержащей ось;
- Экваториальное сечение — сечение, перпендикулярное оси и проходящее через центр (для сферы — большой круг).
¶Сечение в черчении и инженерии
В техническом черчении сечением называется изображение фигуры, получаемое мысленным рассечением предмета плоскостью и рассматриваемое со стороны направления взгляда. Сечения применяются для показа внутреннего устройства деталей и конструкций. Различают:
- Сплошное сечение — целиком закрашенное штриховкой;
- Несплошное (вынесенное) сечение — вынесенное за пределы предмета и соединённое выносными линиями;
- Слом — сечение, полученное при мысленном разрезе предмета несколькими взаимно перпендикулярными плоскостями.
Стандарты ЕСКД (Единая система конструкторской документации) регламентируют обозначения и правила построения сечений на чертежах.
¶Сечение в математическом анализе
В анализе понятие сечения используется при описании множеств и функций. Сечение множества — множество точек, лежащих в заданной плоскости (или на заданной поверхности). При интегрировании по площади или объёму сечения позволяют применять метод сечений для вычисления интегралов.
¶Сечение в физике
Понятие сечения широко применяется в физике:
- Эффективное сечение рассеяния — величина, характеризующая вероятность рассеяния частицы на центре; измеряется в единицах площади (барн, $10^{-28}$ м²).
- Сечение захвата — величина, определяющая вероятность захвата нейтрона ядром.
- Сечение тока — отношение силы тока к плотности тока.
¶Примеры
- Сечение куба плоскостью, проходящей через три соседние вершины, — равносторонний треугольник.
- Сечение прямого кругового конуса плоскостью, параллельной основанию, — окружность.
- Сечение цилиндра осевой плоскостью — прямоугольник.
- Сечение сферы любой плоскостью — окружность.
¶Интересные факты
- Среди всех сечений куба плоскостью наибольшую площадь имеет правильный шестиугольник, вершины которого являются серединами рёбер куба.
- Сечение пирамиды, параллельное основанию, подобно основанию с коэффициентом подобия, равным отношению расстояний от вершины до сечения и до основания.
¶Источники
- Атанасян Л. С. «Геометрия. 7–9 классы»
- Погорелов А. В. «Геометрия. 7–11 классы»
- Иродов И. Е. «Задачи по общей физике»
- ГОСТ 2.305—2008. ЕСКД. Изображения. Виды, разрезы, сечения