Равнобедренная трапеция и её свойства¶
Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. Трапецией при этом называют четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны (их именуют основаниями), а две другие не параллельны (боковые стороны). Равнобедренную трапецию называют также равнобокой или равнобочной. Она является частным случаем трапеции и обладает рядом дополнительных свойств, выделяющих её среди прочих четырёхугольников.
¶Определение и признаки
Пусть в четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны и служат основаниями, а \(AB\) и \(CD\) — боковые стороны. Трапеция равнобедренная, если \(AB = CD\).
Существует несколько равносильных признаков, каждый из которых можно принять за определение:
- боковые стороны равны;
- углы при каждом из оснований равны: \(\angle A = \angle D\) и \(\angle B = \angle C\);
- диагонали равны: \(AC = BD\);
- прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям (ось симметрии);
- вокруг трапеции можно описать окружность.
Последний признак особенно удобен: трапеция вписана в окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная. Это следует из того, что сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180°\), а у трапеции углы при боковой стороне в сумме уже дают \(180°\); равенство остальных углов как раз и означает равнобокость.
¶Основные свойства
¶Равенство углов
Углы при каждом основании равны между собой. Это прямое следствие равенства боковых сторон: если опустить из вершин меньшего основания перпендикуляры на большее, получатся два равных прямоугольных треугольника, откуда и вытекает равенство соответствующих углов.
¶Равенство диагоналей
Диагонали равнобедренной трапеции равны. Более того, они образуют равные углы с основаниями: диагональ \(AC\) наклонена к основанию \(AD\) под тем же углом, что и диагональ \(BD\). Точка пересечения диагоналей делит их на пропорциональные отрезки, причём треугольники, прилегающие к основаниям, являются равнобедренными.
¶Ось симметрии
Прямая, проходящая через середины оснований, является осью симметрии трапеции. Отражение относительно неё переводит фигуру в себя, меняя местами боковые стороны и диагонали. Наличие оси симметрии — характерное отличие равнобедренной трапеции от произвольной.
¶Вписанная и описанная окружности
Вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность, центр которой лежит на оси симметрии. Вписать же окружность можно только в ту трапецию, у которой сумма оснований равна сумме боковых сторон; для равнобедренной трапеции это условие сводится к равенству \(a + b = 2c\), где \(a\) и \(b\) — основания, \(c\) — боковая сторона. Если окружность вписана, её радиус равен половине высоты трапеции.
¶Формулы и вычисления
Обозначим основания \(a\) и \(b\) (\(a > b\)), боковую сторону \(c\), высоту \(h\), диагональ \(d\), среднюю линию \(m\).
| Величина | Формула |
|---|---|
| Средняя линия | \(m = \dfrac{a+b}{2}\) |
| Высота через стороны | \(h = \sqrt{c^2 - \left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2}\) |
| Диагональ | \(d = \sqrt{c^2 + ab}\) |
| Площадь | \(S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h\) |
| Площадь через диагонали | \(S = \dfrac{1}{2}d^2\sin\varphi\) |
| Радиус описанной окружности | \(R = \dfrac{c\,d}{2h}\cdot\dfrac{?}{}\) — вычисляется по сторонам и углам |
Формула диагонали \(d = \sqrt{c^2 + ab}\) удобна тем, что не требует знания углов. Площадь через диагонали использует угол \(\varphi\) между ними; для равнобедренной трапеции этот способ часто проще, чем вычисление высоты.
Высоту можно также выразить через боковую сторону и угол при основании: \(h = c\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол при большем основании. Проекция боковой стороны на большее основание равна \(\dfrac{a-b}{2}\).
¶Примеры и применение
Типичная задача: основания равнобедренной трапеции равны 10 и 4, боковая сторона — 5. Тогда проекция боковой стороны равна \((10-4)/2 = 3\), высота \(h = \sqrt{25-9} = 4\), площадь \(S = \dfrac{10+4}{2}\cdot 4 = 28\), диагональ \(d = \sqrt{25+40} = \sqrt{65}\).
Равнобедренные трапеции часто встречаются в геометрических построениях и в архитектуре: их форму имеют элементы мостов, куполов, сводов, детали орнаментов. В школьном курсе планиметрии свойства равнобедренной трапеции служат основой для задач на доказательство, вычисление площадей и построение вписанных и описанных окружностей.
¶Связь с другими фигурами
Если у равнобедренной трапеции одно из оснований стягивается в точку, фигура вырождается в равнобедренный треугольник. Прямоугольник и квадрат можно рассматривать как предельные случаи трапеции с параллельными боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, лежит на средней линии и равен полуразности оснований: \(\dfrac{a-b}{2}\).
¶Критика и типичные ошибки
Распространённая ошибка — считать, что равенства диагоналей достаточно для равнобедренности без учёта того, что речь идёт именно о трапеции. Также неверно переносить свойства равнобедренной трапеции на произвольную: у обычной трапеции углы при основании и диагонали, вообще говоря, не равны. Отдельно стоит помнить, что вписать окружность можно не в любую равнобедренную трапецию, а лишь при выполнении условия \(a+b=2c\).
Источники: учебники по геометрии для средней школы, справочники по планиметрии, материалы по элементарной математике.