Радиус вписанной окружности¶

Радиус вписанной окружности — расстояние от центра вписанной окружности до любой из сторон описанной вокруг неё фигуры (треугольника, квадрата, многоугольника). Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех сторон многоугольника изнутри; её центр называется инцентром, а радиус — инрадиусом. Наиболее часто задача нахождения радиуса вписанной окружности встречается в школьном курсе геометрии применительно к треугольникам и правильным многоугольникам.

¶Радиус вписанной окружности треугольника

¶Основная формула

Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$, полупериметром $p = \frac{a+b+c}{2}$ и площадью $S$ радиус вписанной окружности определяется формулой:

$$r = \frac{S}{p}$$

Эта формула является обратной к равенству $S = pr$, которое доказывается разбиением треугольника на три меньших треугольника с общей вершиной в инцентре и высотами, равными $r$.

¶Вычисление через стороны (формула Герона)

Если известны только длины сторон, площадь находится по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Тогда радиус вписанной окружности:

$$r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$

Пример. Треугольник со сторонами 13, 14, 15. Полупериметр $p = 21$. Площадь по формуле Герона: $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$. Радиус вписанной окружности: $r = 84 / 21 = 4$.

¶Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ формула упрощается:

$$r = \frac{a + b - c}{2}$$

Эта формула выводится из общего соотношения $r = \frac{S}{p}$ с учётом теоремы Пифагора. Частный случай: для прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 (гипотенуза 5) радиус вписанной окружности равен $(3 + 4 - 5) / 2 = 1$.

¶Через углы и радиус описанной окружности

Радиус вписанной окружности связан с радиусом описанной окружности $R$ и углами треугольника $A$, $B$, $C$ соотношением:

$$r = 4R \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}$$

Также для любого треугольника справедливо неравенство $r \leq \frac{R}{2}$, причём равенство достигается только для равностороннего треугольника.

¶Координаты инцентра

В декартовых координатах с вершинами треугольника $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$ и противолежащими сторонами $a$, $b$, $c$ координаты инцентра вычисляются как средневзвешенные:

$$x_I = \frac{a x_1 + b x_2 + c x_3}{a + b + c}, \quad y_I = \frac{a y_1 + b y_2 + c y_3}{a + b + c}$$

¶Радиус вписанной окружности в квадрат и прямоугольник

Для квадрата со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен половине стороны: $r = a/2$. Центр окружности совпадает с центром квадрата.

В прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ (при $a \neq b$) окружность, касающаяся всех четырёх сторон, вписать невозможно: можно вписать окружность, касающуюся только двух противоположных сторон, — тогда её радиус равен $\min(a, b)/2$.

¶Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

Для правильного $n$-угольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности (апотема) вычисляется по формуле:

$$r = \frac{a}{2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}$$

Частные случаи:

Для правильного многоугольника, описанного вокруг окружности радиуса $r$, справедливо соотношение между радиусом вписанной окружности и радиусом описанной: $R = \frac{r}{\cos(\pi/n)}$.

¶Радиус вписанной окружности в трапецию

В трапецию окружность вписывается тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Если это условие выполнено и известны все четыре стороны, радиус вписанной окружности вычисляется так же, как для треугольника: $r = S/p$, где площадь трапеции $S$ и полупериметр $p$ определяются стандартными способами.

¶Радиус вписанной окружности в сектор и круг

В круг радиуса $R$ можно вписать правильный $n$-угольник; радиус вписанной в него окружности, как указано выше, равен $r = R \cos(\pi/n)$. Для квадрата, вписанного в окружность радиуса $R$, радиус вписанной окружности равен $R/\sqrt{2}$.

¶Связь с другими элементами треугольника

Инцентр треугольника — точка пересечения биссектрис. Радиус вписанной окружности связан с расстояниями от инцентра до вершин:

$$r = (p - a) \operatorname{tg}\frac{A}{2} = (p - b) \operatorname{tg}\frac{B}{2} = (p - c) \operatorname{tg}\frac{C}{2}$$

Эти формулы удобны, когда известны полупериметр и углы треугольника.

¶Применение

Задачи на нахождение радиуса вписанной окружности встречаются в школьном курсе геометрии (ЕГЭ, олимпиады), в задачах на вычисление площадей сложных фигур, а также в инженерных расчётах — например, при определении размеров втулок, подшипников и других деталей, где важен допуск вписывания окружности в ограниченную область.

¶Источники

• Атанасян Л. С. и др. «Геометрия. 7–9 класс»
• Погорелов А. В. «Геометрия. 7–11 класс»
• Зив Б. Г. «Сборник задач по геометрии»
• Виленкин Н. Я. «Математика. 8 класс»