Прямой угол в геометрии¶

Прямой угол — угол, величина которого равна 90° (π/2 радиан). Прямой угол образуется при пересечении двух перпендикулярных прямых или отрезков. Один из четырёх основных видов углов в планиметрии, наряду с острым, тупым и развёрнутым. В геометрии прямой угол служит отправной точкой для определения перпендикулярности, а также для построения прямоугольных треугольников и координатных систем.

¶Происхождение термина

Слово «прямой» в данном контексте восходит к представлению о «прямизне» линии: если одна из сторон угла лежит на прямой, а вторая «стоит прямо» к ней, угол и называют прямым. Английский термин right angle имеет схожее происхождение — от понятия «правильный», «вертикальный». В древнегреческой геометрии, в частности в «Началах» Евклида (около 300 года до н. э.), прямой угол определялся через перпендикулярность: когда прямая, пересекая другую, делает смежные углы равными, каждый из них является прямым.

¶Свойства

• Прямой угол равен 90°, что составляет четверть полного оборота (360°) и половину развёрнутого угла (180°).
• Два прямых угла дают развёрнутый угол, лежащий на одной прямой.
• Смежные углы, один из которых прямой, также прямые: если одна сторона угла перпендикулярна другой, то и все смежные с ним углы равны 90°.
• Угол, дополняющий острый угол до прямого, называется дополнительным к нему; сумма двух взаимно дополнительных углов равна 90°.
• В прямоугольном треугольнике один из углов обязательно прямой, а два остальных — острые и взаимно дополнительные.

¶Обозначение

В геометрических чертежах прямой угол традиционно помечается маленьким квадратом в вершине, вписанным между сторонами угла. Это условное обозначение позволяет отличить прямой угол от любого другого без указания числовой меры. В аналитической геометрии перпендикулярность прямых проверяется через произведение их угловых коэффициентов: если k₁·k₂ = −1, то образованные ими углы прямые.

¶Связь с другими понятиями

¶Перпендикулярность

Прямой угол является основой определения перпендикулярности. Две прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90°. Понятие перпендикулярности распространяется на прямые, плоскости, прямую и плоскость, а также на векторы: ортогональные (взаимно перпендикулярные) векторы имеют нулевое скалярное произведение, что является аналитическим признаком прямого угла между ними.

¶Единицы измерения

Помимо градусов, прямой угол выражается в радианах (π/2 ≈ 1,5708) и градах (100 градов, где полный оборот составляет 400 градов). В системе СИ плоский угол измеряется в радианах, поэтому прямой угол в физических формулах записывается как π/2.

¶Тригонометрия

В тригонометрии прямой угол играет особую роль: синус и косинус прямого угла равны 1 и 0 соответственно, тангенс прямого угла не определён (стремится к бесконечности). Значения тригонометрических функций в точке π/2 используются при построении графиков и решении уравнений.

¶Применение

Прямой угол встречается в архитектуре и строительстве, где выверенные углы в 90° обеспечивают устойчивость и точность конструкций. Каменщики и плотники традиционно проверяют прямоугольность кладки или рам с помощью угольника — инструмента, образующего ровно прямой угол. В компьютерной графике и моделировании прямоугольные системы координат (декартова плоскость и трёхмерное пространство) основаны на взаимной перпендикулярности осей. В физике прямые углы определяют направления сил, нормальные к поверхности, а в оптике — угол падения и отражения, отсчитываемый от нормали.

¶Исторические сведения

Древнеегипетские землемеры («распашники») после разлива Нила восстанавливали границы полей и пользовались верёвкой с узлами, натягивая её в треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц: по теореме Пифагора такой треугольник содержит прямой угол. Этот приём, известный ещё до нашей эры, стал одним из ранних практических способов получения точного угла в 90°.

¶Источники

• Евклид. Начала, книги I—VI.
• Пономарёв Л. И. Геометрия для педагогических училищ.
• Киселёва С. В., Пономарёв И. Ф. Геометрия. 7—9 классы.
• Трифонов Е. А. Справочник по элементарной геометрии.