Пропорция — математическое понятие и принцип гармонии¶

Пропорция (от лат. proportio — соразмерность) — математическое отношение между двумя величинами или числами, выражающее их соразмерность; в широком смысле — соответствие частей целому, закономерность соотношения элементов в системе. Понятие пропорции лежит в основе арифметики, геометрии, теории музыки, архитектуры и изобразительного искусства.

¶Математическое определение

Пропорцией называют равенство двух отношений: a/b = c/d, записываемое как a : b = c : d. Члены a, b, c, d называются пропорцией, а и d — крайними членами, b и c — средними. Свойство средних членов: произведение крайних равно произведению средних (ad = bc). Пропорция, где средние члены равны (a/b = b/c), называется пропорцией среднего и крайнего пропорционального.

Пропорция тесно связана с понятием доли: если величина разделена на несколько равных частей, каждая часть составляет определённую долю целого. Отношение двух долей выражается именно через пропорцию.

¶История

Понятие пропорции развивалось в Древней Греции. Евклид в «Началах» (около 300 года до н. э.) посвятил пятую книгу теории пропорций, построенную на основе теории величин Эвдокса Книдского, что позволило работать с иррациональными числами. Римский архитектор Витрувий в трактате «Десять книг об архитектуре» (I век до н. э.) описал гармонические пропорции человеческого тела и храмовых построек.

В эпоху Средневековья изучение пропорций продолжилось в трудах арабских математиков — аль-Хорезми, аль-Каши, Омара Хайяма. В Европе теорию пропорций развивали Леонардо Фибоначчи («Книга об абаке», XIII век), Лука Пачоли («Божественная пропорция», 1509) и Никола Кузанский.

¶Золотое сечение

Наиболее известная историческая пропорция — золотое сечение, иррациональное число φ ≈ 1,618, делящее отрезок так, что отношение целого к большей части равно отношению большей части к меньшей. Золотое сечение встречается в геометрии правильного пятиугольника, в построении золотого прямоугольника и в фибоначчиевых последовательностях (отношение соседних членов стремится к φ при увеличении индекса).

Золотое сечение исторически связывают с пропорциями Парфенона, картин Леонардо да Винчи и других произведений искусства, однако масштабность его применения в истории искусства остаётся предметом дискуссий.

¶Пропорция в искусстве и архитектуре

В изобразительном искусстве и архитектуре пропорция означает соразмерное соотношение частей и целого. Канонические системы пропорций разрабатывались ещё в Древнем Египте и Греции: скульптор Поликлет в V веке до н. э. создал канон, зафиксированный в трактате «Канон», где рост человека делился на определённое число частей.

В эпоху Возрождения Леонардо да Винчи создал рисунок «Витрувианский человек», иллюстрирующий гармонию пропорций человеческого тела, описанных Витрувием. В XX веке Ле Корбюзье разработал модуль — систему пропорционирования, основанную на золотом сечении и росте человека, применяемую в архитектуре и промышленном дизайне.

¶Пропорция в музыке

В теории музыки пропорция выражает соотношение частот колебаний, определяющих музыкальные интервалы. Октава соответствует соотношению 2:1, квинта — 3:2, кварта — 4:3. Пифагорейский строй был построен именно на этих пропорциях, что связывало музыку с математикой в учении о гармонии сфер.

¶Виды пропорций

• Арифметическая — разность между соответствующими членами постоянна: a − b = c − d.
• Геометрическая — отношение между членами постоянно: a/b = c/d.
• Гармоническая — обратные величины образуют арифметическую прогрессию: (a − b)/b = (c − d)/d.

¶Пропорция в логике и риторике

В логике пропорциональное отношение между величинами используется в умозаключениях по аналогии. В риторике и поэтике пропорция обозначает соразмерность частей высказывания или стихотворного размера — соразмерность строк, строф, смысловых частей произведения.

¶Применение

Понятие пропорции применяется в:

• Математике и физике — при решении задач на прямую и обратную пропорциональность, в формулах масштабирования.
• Черчении и геометрии — при построении подобных фигур.
• Химии — при расчёте стехиометрических соотношений веществ.
• Экономике — при расчёте относительных величин, индексов, долей.
• Фотографии и живописи — при компоновке кадра (правило третей, золотое сечение).

¶См. также

• Золотое сечение
• Отношение и пропорция
• Канон (искусство)
• Модуль (архитектура)

¶Источники

• Евклид. Начала, книга V.
• Витрувий. Десять книг об архитектуре.
• Лука Пачоли. Божественная пропорция (1509).
• Л. Э. Майоров. Математика в классическом и современном изложении.
• Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.