Пропорция как устойчивое соотношение величин¶

Пропорция — это устойчивое соотношение между двумя или несколькими величинами, при котором отношение одних величин к другим остаётся постоянным. В широком смысле слово «пропорция» обозначает соответствие, соразмерность частей целого; в математике и прикладных дисциплинах под ней понимают равенство двух отношений, записываемое в виде a : b = c : d. Термин происходит от латинского proportio, что означает «соотношение», «соразмерность».

¶Математическое определение

В элементарной математике пропорцией называют равенство двух отношений (отношений) между четырьмя величинами. Если выполняется равенство a/b = c/d, то величины a, b, c и d находятся в пропорции, причём a и d называют крайними членами, а b и c — средними членами пропорции.

Из определения следуют два основных свойства:

• Свойство крайних членов: произведение крайних членов равно произведению средних членов (a·d = b·c).
• Свойство средних членов: средний член можно заменить на два слагаемых, если остальные три члена образуют прогрессию.

Пропорция тесно связана с понятием прямой и обратной пропорциональности. Величины x и y прямо пропорциональны, если их отношение постоянно (x/y = k, где k — коэффициент пропорциональности); обратно пропорциональны, если их произведение постоянно (x·y = k).

¶История

Понятие пропорции возникло в Древней Греции. Уже у пифагорейцев (VI век до н. э.) изучение отношений между числами составляло основу учения о числе. Пифагорейцы открыли, что музыкальные интервалы описываются простыми числовыми соотношениями: октава — 2:1, квинта — 3:2, кварта — 4:3.

Евклид в «Началах» (около 300 года до н. э.) посвятил пятую книгу теории пропорций, построенную на основе теории пропорциональных величин Эвдокса Книдского. Эта конструкция позволяла работать с величинами, не обязательно являющимися целыми числами, и стала вершиной математической строгости античности.

В эпоху Возрождения идея пропорции получила развитие в искусстве и архитектуре. Леон Баттиста Альберти в трактате «О живописи» (1435) описал «золотое сечение» — особую пропорцию, при которой отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к большей части (приблизительно 1,618). Этим же числом, обозначаемым буквой φ, интересовались Лука Пачоли (трактат «О божественной пропорции», 1509) и Леонардо да Винчи.

¶Классификация

В школьной математике различают следующие виды соотношений между величинами:

¶Применение

Понятие пропорции применяется в самых разных областях:

• Геометрия: подобие треугольников и других фигур основано на пропорциональности соответствующих сторон.
• Физика: многие законы выражают пропорциональные зависимости — закон Ома (I = U/R), закон Гука (F = kx), закон всемирного тяготения.
• Химия: законы стехиометрии описывают соотношение веществ в реакциях через пропорциональность мольных количеств.
• Экономика и бухгалтерский учёт: пропорции используются при расчёте долей, индексов, относительных величин.
• Искусство и архитектура: каноны красоты традиционно связывают с гармоничными пропорциями частей здания или картины.

¶Слово в языке

Помимо математического значения, слово «пропорция» употребляется в значении «соразмерность, гармония частей целого» — например, «пропорции тела», «архитектурные пропорции». В переносном смысле говорят о несоответствии пропорций, о чрезмерности чего-либо.

В русском языке слово является заимствованием из латинского языка, вошедшего в обиход через западноевропейские языки в XVIII веке вместе с развитием научной терминологии.

Источники:

• Евклид. Начала, книга V
• Альберти Л. Б. О живописи
• Пачоли Л. О божественной пропорции
• Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988
• Большая российская энциклопедия, статья «Пропорция»