Производная логарифма и её свойства¶

Производная логарифма — это производная логарифмической функции, одна из базовых формул дифференциального исчисления. Для натурального логарифма $\ln x$ при $x > 0$ она равна $1/x$; для логарифма по произвольному основанию $a$ ($a > 0$, $a \neq 1$) — $1/(x \ln a)$. Формула лежит в основе логарифмического дифференцирования, применяется при решении задач анализа, физики, экономики и теории информации.

¶Основные формулы

Производная натурального логарифма:

$$(\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad x > 0.$$

Производная логарифма по основанию $a$:

$$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}, \quad x > 0, \; a > 0, \; a \neq 1.$$

Для сложной функции (правило цепочки) при $u = u(x) > 0$:

$$(\ln u)' = \frac{u'}{u}, \qquad (\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}.$$

Частный случай — производная десятичного логарифма: $(\lg x)' = \dfrac{1}{x \ln 10} \approx \dfrac{0{,}4343}{x}$.

¶Вывод формулы

Формулу получают из определения производной как предела:

$$(\ln x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(x + \Delta x) - \ln x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right).$$

Обозначив $t = \Delta x / x$, получают:

$$(\ln x)' = \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \ln(1 + t)^{1/t} = \frac{1}{x} \ln e = \frac{1}{x},$$

поскольку предел $(1 + t)^{1/t}$ при $t \to 0$ равен числу $e$. Переход к произвольному основанию выполняется через формулу замены основания $\log_a x = \ln x / \ln a$, откуда постоянный множитель $1/\ln a$ выносится за знак производной.

¶Место среди элементарных функций

Логарифм — одна из немногих элементарных функций, чья производная выражается через простейшие рациональные и логарифмические функции. Связь с показательной функцией объясняется тем, что они взаимно обратны: если $y = \ln x$, то $x = e^y$, и по теореме о производной обратной функции $(e^y)' = e^y$, что даёт $(\ln x)' = 1/e^y = 1/x$.

Родственные формулы:

Производная $\ln |x|$ совпадает с $1/x$ на всей области определения, что удобно при интегрировании: $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$.

¶Логарифмическое дифференцирование

Метод логарифмического дифференцирования применяют для функций вида $y = f(x)^{g(x)}$ и для громоздких произведений и частных. Обе части равенства логарифмируют, затем дифференцируют:

$$\ln y = g(x) \ln f(x) \implies \frac{y'}{y} = g'(x)\ln f(x) + g(x)\frac{f'(x)}{f(x)},$$

откуда $y' = y\left(g'\ln f + g \frac{f'}{f}\right)$.

Классический пример — производная степенно-показательной функции $y = x^x$: $\ln y = x \ln x$, значит $y'/y = \ln x + 1$, и $y' = x^x(\ln x + 1)$.

¶Применение

• Математический анализ. Формула используется при взятии интегралов вида $\int \frac{u'}{u}dx = \ln|u| + C$, при разложении в ряды, при исследовании сходимости.
• Физика. Производная логарифма описывает относительную скорость изменения величины: $(\ln N)' = N'/N$. Так записывают закон радиоактивного распада, процессы затухания, логарифмический декремент.
• Экономика. Эластичность функции $E = x f'(x)/f(x)$ выражается через логарифмическую производную и показывает процентный отклик величины на процент изменения аргумента.
• Теория информации и статистика. Логарифм входит в формулу энтропии и логарифмического правдоподобия; его производная применяется в методе максимального правдоподобия и градиентном обучении моделей.
• Численные методы. Замена переменной с логарифмом позволяет сглаживать функции с широким диапазоном значений.

¶Свойства и обобщения

Производная логарифма положительна при $x > 0$, поэтому натуральный логарифм монотонно возрастает; вторая производная $(\ln x)'' = -1/x^2$ отрицательна, значит функция выпукла вверх. В точке $x = 1$ угловой коэффициент касательной равен единице.

Для комплексного логарифма $\operatorname{Ln} z$ производная также равна $1/z$ на области аналитичности, но из-за многозначности требуется выбор ветви. В многомерном анализе аналогом служит градиент $\nabla \ln f = \nabla f / f$. Для логарифма матрицы и оператора в функциональном анализе существуют обобщения через производную Фреше.

¶Типичные ошибки

Распространённая ошибка — забыть множитель $1/\ln a$ при дифференцировании логарифма по основанию, отличному от $e$, либо применить формулу к отрицательным значениям аргумента без модуля. Также ошибочно путать производную логарифма с производной показательной функции: $(\ln x)' = 1/x$, тогда как $(a^x)' = a^x \ln a$.

Источники: учебники по математическому анализу, справочники по элементарной математике, таблицы производных и интегралов.