Правильный пятиугольник¶

Правильный пятиугольник — правильный выпуклый многоугольник, имеющий пять равных сторон и пять равных углов. Внутренний угол правильного пятиугольника равен 108°, а внешний угол — 72°. Правильный пятиугольник обладает пятикратной осевой симметрией (пятью осями симметрии) и поворотной симметрией на угол 72°. Он является одним из трёх правильных многоугольников (наряду с правильным треугольникником и правильным десятиугольником), которые нельзя построить с помощью циркуля и линейки, но могут быть построены с использованием невычислимого по Гауссу метода — так называемой «трисекции» через неперсистентные квадратуры, а более точно — с использованием метода Гаусса, основанного на том, что пятиугольник связан с квадратурой круга через построение правильного 17-угольника (см. ниже).

¶Геометрические свойства

Пусть сторона правильного пятиугольника равна $a$. Тогда:

• Периметр: $P = 5a$.
• Площадь: $S = \frac{a^2}{4}\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \approx 1{,}72048\,a^2$.
• Радиус вписанной окружности (апотема): $r = \frac{a}{2}\sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{5}}{5}}$.
• Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{2}\sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{5}}$.
• Диагональ: $d = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\,a = \varphi\,a$, где $\varphi \approx 1{,}618$ — золотое сечение.

Отношение диагонали к стороне правильного пятиугольника равно золотому сечению. Это свойство делает пятиугольник геометрически связанным с рядом других фигур, обладающих золотым сечением, — например, с правильным пятиконечной звездой (пентаграммой) и с икосаэдром.

¶Построение

Правильный пятиугольник не может быть построен с помощью циркуля и линейки. Это следует из того, что косинус его внутреннего угла, $\cos 72° = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$, является корнем уравнения $4x^2 + 2x - 1 = 0$, а число $\sqrt{5}$ не может быть получено итеративным извлечением квадратных корней из рациональных чисел. По теореме Гаусса — Ванцеля, правильный $n$-угольник построям циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда $n$ является произведением степени двойки и попарно различных чисел Ферма. Число 5 не является числом Ферма (так как $5 = 2^{2^0} + 1$ формально подходит, но на деле $\sqrt{5}$ не сводится к квадратным корням рациональных чисел в нужной последовательности), и пятиугольник входит в число «непостроимых» многоугольников.

Тем не менее правильный пятиугольник построим с использованием:

• Невычислимых по Гауссу операций (метод, основанный на решении уравнения $x^5 - 1 = 0$).
• Спирали, описанной Никомедом (квадратрисой) — метод позволяет построить угол в 72°.
• Метода Гаусса, который показал, что правильный 17-угольник построим, и предложил обобщение, применимое и к пятиугольнику через построение определённых кривых.

На практике правильный пятиугольник часто строят приближённо, например методом «на глаз» или с помощью пропорции золотого сечения: если отложить на окружности отрезки, соответствующие стороне, вычисленной через формулу $a = R\sqrt{\frac{10 - 2\sqrt{5}}{5}}$, где $R$ — радиус окружности.

¶Симметрия

Правильный пятиугольник имеет группу симметрии $D_5$ порядка 10, состоящую из:

• 5 поворотных симметрий (на углы 0°, 72°, 144°, 216°, 288°);
• 5 осевых симметрий (оси проходят через каждую вершину и середину противоположной стороны).

Эта группа изоморфна диэдрической группе $D_{10}$ (в обозначении с порядком).

¶Тесселяция

Правильный пятиугольник не может заполнять плоскость (тесселировать её) без зазоров и наложений, поскольку его внутренний угол 108° не делит 360° нацело. С другой стороны, правильные пятиугольники могут образовывать неправильные тесселяции при условии, что используются пятиугольники разных размеров и ориентаций — такие заполнения плоскости изучались, в частности, в контексте задачи о пятиугольниках.

¶Правильные пятиугольники в природе и культуре

Правильный пятиугольник встречается в различных областях:

• Кристаллография: правильные пятиугольники не могут образовывать периодические кристаллические решётки в трёхмерном пространстве (ограничение кристаллографической теории запрета), однако могут образовывать квазикристаллы с пятикратной симметрией.
• Биология: пятиугольную симметрию имеют многие морские ежи (Echinoidea), морские звёзды и цветки некоторых растений (например, первоцвет).
• Архитектура и символика: пятиугольник и пентаграмма используются в архитектуре, геральдике и символике различных культур. Здание Пентагона в Вашингтоне имеет форму правильного пятиугольника.
• Спортивные мячи: классический футбольный мяч собран из пятиугольных (чёрных) и шестиугольных (белых) панелей — это твёрдое тело, называемое треугольным икоситетраэдром (truncated icosahedron).

¶Смежные понятия

• Пентаграмма — пятиконечная звезда, образованная диагоналями правильного пятиугольника. Отношение отрезков, на которые пентаграмма делит свои стороны, также равно золотому сечению.
• Золотое сечение — пропорция $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, тесно связанная с геометрией пятиугольника.
• Правильный икосаэдр — выпуклый многогранник, каждая грань которого является правильным треугольником, но при этом вершины икосаэдра образуют правильные пятиугольники при соответствующих сечениях.

¶История

Изучение правильного пятиугольника восходит к античной математике. Евклид в «Началах» (книга IV, построение 11) описал метод построения правильного пятиугольника, однако его построение предполагает наличие определённых пропорций, а не строгое циркульно-линейечное построение. Вопрос о построямости правильного пятиугольника циркулем и линейкой был решён в XIX веке после работ Гаусса и Ванцеля.

¶Источники

• Евклид. Начала, книга IV.
• Гаусс К. Ф. Арифметические исследования.
• Клейн Ф. Лекции о многогранниках.
• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения.