Правильный многоугольник¶

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, все стороны которого равны по длине, а все углы равны между собой. Правильные многоугольники являются частным случаем однородных (изогональных и изотоксических) многоугольников и входят в число фигур, обладающих высокой степенью симметрии: группа их симметрий — диэдральная группа порядка 2n, где n — число сторон.

¶Обозначение и основные свойства

Правильный n-угольник обозначают как {n}. Такое обозначение ввёл Л. Шлефли; оно используется и для обозначения однородных многогранников. Существование правильного многоугольника в евклидовой плоскости возможно лишь при целом n ≥ 3. Правильные треугольник (n = 3), квадрат (n = 4) и правильный шестиугольник (n = 6) — единственные правильные многоугольники, которыми можно замостить плоскость без зазоров и наложений.

Среди основных свойств правильного n-угольника:

• все стороны равны: a₁ = a₂ = … = aₙ = a;
• все внутренние углы равны и равны (n − 2)·180°/n;
• все внешние углы равны 360°/n;
• центр многоугольника — точка пересечения биссектрисов углов и серединных перпендикуляров к сторонам; она совпадает с центром описанной и вписанной окружностей;
• правильный многоугольник является выпуклым и центрально-симметричным при чётном n; при нечётном n центральной симметрии нет, но есть осевые симметрии — по n осям, проходящим через вершины и середины противоположных сторон.

¶Описанная и вписанная окружности

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и описать около него окружность. Радиусы этих окружностей связаны со стороной a и apothem (радиусом вписанной окружности) r через формулы:

• R = a / (2·sin(π/n)) — радиус описанной окружности;
• r = a / (2·tan(π/n)) — радиус вписанной окружности (апофема);
• R = r / cos(π/n).

Площадь правильного n-угольника выражается как S = (n·a²)/(4·tan(π/n)) = (1/2)·n·R·sin(2π/n) = (1/2)·n·a·r.

¶Построение циркулем и линейкой

Классическая геометрия рассматривает задачу о построении правильного n-угольника циркулем и линейкой. Такое построение возможно тогда и только тогда, когда n имеет вид n = 2^k · p₁ · p₂ · … · pₛ, где pᵢ — попарно различные простые числа Ферма (то есть простые вида 2^{2^m} + 1). Это критерий был установлен в 1801 году К. Ф. Гауссом, который впервые построил правильный 17-угольник. Известны только пять простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537, поэтому правильные многоугольники с числом сторон, не делящимся на эти числа (например, 7, 9, 11, 13, 19), циркулем и линейкой не строятся. Построение правильного 65537-угольника было выполнено в 1902 году немецким математиком Германом Оствальдом и заняло около 20 часов работы.

¶Правильные звёздчатые многоугольники

Помимо выпуклых правильных многоугольников, существуют правильные звёздчатые многоугольники, обозначаемые символом {n/k}, где n и k взаимно просты, 1 < k < n/2. Стороны такого многоугольника образуют звезду: вершины равномерно распределены по окружности, а соединяются они через k вершин. Наиболее известный пример — пентаграмма {5/2}. Правильные звёздчатые многоугольники существуют только при n ≥ 5.

¶Обобщения и связь с многогранниками

Правильные многоугольники являются гранями правильных многогранников: тетраэдра, октаэдра и икосаэдра (грани — правильные треугольники), куба и додекаэдра (грани — квадраты и правильные пятиугольники соответственно). В трёхмерном пространстве, в отличие от плоскости, правильные многогранники ограничены пятью типами (теорема о правильных многогранниках). Правильные многоугольники также являются основой для построения однородных многогранников и многогранников Кеплера — Пуассона.

¶Применение

Правильные многоугольники встречаются в архитектуре (планы куполов, витражи), в кристаллографии (проекции симметрии кристаллов), в технике (шестигранники головок болтов, гайки), в компьютерной графике (моделирование круглых объектов многоугольными сетями). Правильные шестиугольники образуют структуру сот пчёл и графеновую решётку.

¶История

Правильные треугольники, квадраты и пятиугольники были известны ещё античным математикам; Евклид в «Началах» (книга IV) построил правильные многоугольники с числом сторон 3, 4, 5, 6, 15 и 17. Построение правильного 17-угольника, открытое Гауссом в 1796 году в возрасте 19 лет, стало одним из стимулов для развития алгебраической теории уравнений и теории полей.

Источники:

• Евклид. Начала, книга IV
• К. Ф. Гаусс. Дискретный анализ, 1801
• Л. Шлефли. Über die regulären Polytopen, 1852
• С. Л. Соболев. Курс аналитической геометрии
• И. М. Яглом. Геометрические неравенства и задачи о максимуме и минимуме