Последняя цифра числа¶

Последняя цифра числа — это правый разряд натурального числа, записанного в позиционной системе счисления, то есть цифра, стоящая в самом правом месте записи. В десятичной системе счисления последняя цифра числа определяет его остаток при делении на 10 и принимает одно из десяти значений от 0 до 9. Понятие широко используется в арифметике, теории чисел, компьютерных алгоритмах и в практических задачах быстрого вычисления.

¶Свойства последней цифры

Последняя цифра десятичной записи числа $n$ равна остатку от деления $n$ на 10, то есть выражается формулой $n \bmod 10$. Это свойство позволяет по последней цифре числа определить его делимость: число делится на 2, если его последняя цифра чётна, и делится на 5, если последняя цифра равна 0 или 5. Делится на 10 число тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0.

При умножении двух чисел последняя цифра произведения зависит только от последних цифр множителей. Это свойство позволяет вычислять последнюю цифру больших степеней и произведений, не выполняя полного вычисления.

¶Периодичность последних цифр степеней

Последние цифры степеней натуральных чисел образуют периодические последовательности. Для чисел, взаимно простых с 10, период последней цифры степени делит 4 (следствие малой теоремы Ферма, поскольку $\varphi(10) = 4$). Например:

Например, последняя цифра $7^{2023}$: показатель 2023 при делении на 4 даёт остаток 3, поэтому последняя цифра совпадает с последней цифрой $7^3 = 343$, то есть равна 3.

¶Последняя цифра суммы и произведения

Последняя цифра суммы двух чисел равна последней цифре суммы их последних цифр (с учётом возможного переноса). Аналогично для произведения. Это свойство лежит в основе многих задач на быстрый счёт, где требуется найти только последнюю цифру результата, не вычисляя само число целиком.

¶Последняя цифра числа π

Одна из известных задач — определить последнюю цифра (вернее, цифру на заданном месте) в десятичной записи числа π. Число π является иррациональным и трансцендентным, его десятичное представление бесконечно и, как полагают, не содержит закономерностей в распределении цифр. Первые цифры после запятой: 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510. Вычисление отдельных цифр числа π на больших позициях требует специальных алгоритмов — формул Бэйлли — Борвейна — Плауффа и подобных, позволяющих извлекать цифру на позиции $n$ без вычисления всех предыдущих.

¶Применение

Понятие последней цифры находит применение в нескольких областях:

• Контрольные разряды. Контрольные цифры в номерах карт, ISBN, ИНН строятся с использованием остатков от деления, что связано с арифметикой последних разрядов.
• Хеш-функции и генераторы псевдослучайных чисел. Многие простые генераторы (например, метод «среднего квадрата») основаны на извлечении последних цифр квадрата числа.
• Конкурсы и олимпиады. Задачи нахождения последней цифры больших степеней и сумм — распространённый формат математических соревнований.
• Компьютерная арифметика. Операции по модулю 10 и извлечению младшего десятичного разряда используются при формировании контрольных сумм.

¶Интересные факты

• Последняя цифра любого квадрата целого числа может принимать только значения 0, 1, 4, 5, 6, 9 — цифры 2, 3, 7, 8 не могут быть последней цифрой полного квадрата.
• Сумма цифр числа, а значит и его последняя цифра, при делении числа на 9 сохраняется по модулю 9 («правило девяти»).
• В десятичной записи числа $2^{1000}$ последняя цифра равна 6, поскольку показатель 1000 при делении на 4 даёт остаток 0, а $2^4 = 16$.

¶Источники

• Новиков Л. А. «Дискретная математика для программистов»
• Виленкин Н. Я. «Числа и вычисления»
• Клайн М. «Математика. Поиск истины»
• Задачник олимпиадной математики (раздел «Теория чисел»)