Площадь четырёхугольника¶

Площадь четырёхугольника — численная характеристика плоской геометрической фигуры с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами, выражающая размер части плоскости, которую занимает эта фигура. Площадь измеряется в квадратных единицах (мм², см², м² и других) и является аддитивной величиной: если четырёхугольник разбит на непересекающиеся части, его площадь равна сумме их площадей. Для произвольного четырёхугольника не существует единой универсальной формулы, поэтому на практике применяют разные соотношения в зависимости от известных элементов: длин сторон, диагоналей, углов, координат вершин или радиуса вписанной либо описанной окружности.

¶Общие свойства

Площадь любого четырёхугольника заключена между нулём и площадью охватывающей его фигуры. Для четырёхугольника с заданными длинами сторон площадь максимальна, когда он вписан в окружность (это следствие формулы Брахмагупты). Величина площади инвариантна относительно движений плоскости — параллельных переносов, поворотов и отражений, — но меняется при масштабировании: при увеличении всех линейных размеров в k раз площадь возрастает в k² раз.

¶Классификация четырёхугольников

Способы вычисления площади удобно рассматривать по видам четырёхугольников.

• Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными сторонами.
• Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами.
• Ромб — параллелограмм с равными сторонами.
• Квадрат — прямоугольник с равными сторонами.
• Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
• Произвольный (общий) четырёхугольник — без параллельных сторон.
• Вписанный и описанный четырёхугольники — с описанной или вписанной окружностью.

¶Формулы для основных видов

¶Прямоугольник и квадрат

Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон: S = a·b, где a и b — длины сторон. Для квадрата со стороной a формула принимает вид S = a². Через диагональ d квадрата площадь выражается как S = d²/2.

¶Параллелограмм

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней: S = a·hₐ. Эквивалентная формула через две стороны и угол между ними: S = a·b·sin α. Через диагонали d₁, d₂ и угол φ между ними: S = ½·d₁·d₂·sin φ.

¶Ромб

Для ромба со стороной a и высотой h справедливо S = a·h. Наиболее употребительна формула через диагонали: S = ½·d₁·d₂, поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Также S = a²·sin α, где α — угол ромба.

¶Трапеция

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = ½·(a + b)·h, где a и b — длины параллельных сторон (оснований), h — расстояние между ними. Через среднюю линию m = (a + b)/2 формула записывается как S = m·h.

¶Произвольный четырёхугольник

¶Через диагонали и угол

Для любого выпуклого четырёхугольника площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними: S = ½·d₁·d₂·sin φ. Эта формула обобщает случай ромба.

¶Формула Брахмагупты

Если четырёхугольник вписан в окружность, его площадь вычисляется по формуле Брахмагупты:

S = √((p − a)(p − b)(p − c)(p − d)),

где a, b, c, d — длины сторон, p — полупериметр. Для вписанного четырёхугольника эта формула даёт максимально возможную площадь при заданных сторонах.

¶Формула для описанного четырёхугольника

Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность (суммы противоположных сторон равны), площадь равна S = p·r, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

¶Через координаты вершин

Если вершины заданы декартовыми координатами (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), (x₄, y₄) в порядке обхода, площадь вычисляется по формуле площади многоугольника (метод шнуровки):

S = ½·|x₁y₂ − x₂y₁ + x₂y₃ − x₃y₂ + x₃y₄ − x₄y₃ + x₄y₁ − x₁y₄|.

Знак модуля обеспечивает независимость результата от направления обхода вершин.

¶Разбиение на треугольники

Универсальный приём — разбить четырёхугольник диагональю на два треугольника и сложить их площади. Для треугольника применимы формула «половина произведения стороны на высоту», формула Герона или выражение через две стороны и угол. Этот метод работает и для невыпуклых четырёхугольников.

¶Соотношение сторон и площади

Площадь связана с длинами сторон неравенствами. Для четырёхугольника с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Это частный случай изопериметрической задачи: среди всех фигур заданного периметра наибольшую площадь имеет круг, а среди четырёхугольников — квадрат.

¶Применение

Вычисление площади четырёхугольника используется в геодезии при определении площадей земельных участков, в строительстве и архитектуре при расчёте материалов, в картографии, в компьютерной графике при обработке полигонов и в инженерных расчётах. В землеустройстве участки часто имеют форму, близкую к трапеции или произвольному четырёхугольнику, поэтому применяют формулы через диагонали и координаты межевых точек.

¶Примеры

• Прямоугольник со сторонами 4 м и 6 м имеет площадь 24 м².
• Ромб с диагоналями 10 см и 8 см имеет площадь ½·10·8 = 40 см².
• Трапеция с основаниями 6 см и 10 см и высотой 4 см имеет площадь ½·(6 + 10)·4 = 32 см².
• Вписанный четырёхугольник со сторонами 3, 4, 5 и 6 имеет полупериметр 9 и площадь √(6·5·4·3) = √360 ≈ 18,97.

¶Исторические сведения

Правила вычисления площадей прямоугольных участков были известны в Древнем Египте и Вавилоне и применялись при разметке полей. Древнегреческие математики систематизировали эти знания: в «Началах» Евклида изложены основы теории площадей. Формула Герона для треугольника и её обобщение — формула Брахмагупты для вписанного четырёхугольника — восходят к античности и средневековой индийской математике. Координатный метод вычисления площадей многоугольников развился в XVII веке вместе с аналитической геометрией.

Источники: учебники по элементарной геометрии, справочники по математике, материалы по геодезии и землеустройству.