Ось Z в математике и декартовой системе координат¶

Ось Z — третья координатная ось в трёхмерной декартовой системе координат, перпендикулярная осям X и Y, направление которой выбирается по правилу правой руки. В математике и прикладных дисциплинах ось Z традиционно обозначает вертикальное (высотное) направление, а её координата z — величину отклонения точки от плоскости XY. В кроссвордах и сканвордах ответом на определение «ось Z» чаще всего служит слово из девяти букв, соответствующее геометрическому понятию «вертикаль».

¶Историческое происхождение

Декартова система координат была введена Рене Декартом в трактате «Геометрия» (1637 году). Первоначально Декарт оперировал только двумя осями — абсциссой и ординатой, — и третья ось в его работах не фигурировала. Расширение системы до трёх измерений произошло позднее, когда задачи механики и астрономии потребовали описания движения в пространстве.

Автором трёхмерной декартовой системы координат считается швейцарский математик Леонард Эйлер, который в 1748 году введённом им курсе аналитической геометрии последовательно обозначил оси буквами X, Y и Z. Именно Эйлер закрепил правило взаимного расположения осей, известное сегодня как правило правой руки: если ось X направлена на восток, ось Y — на север, то ось Z направлена вертикально вверх.

¶Правило правой руки

В правой декартовой системе координат направления осей связаны соотношением:

$$\vec{e}_z = \vec{e}_x \times \vec{e}_y$$

где $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$, $\vec{e}_z$ — единичные векторы осей. Если расположить пальцы правой руки так, чтобы они указывали от оси X к оси Y, выпрямленный большой палец укажет направление оси Z. В левой системе координат ось Z направлена противоположно, и такое правило выполняется для левой руки.

¶Ось Z в аналитической геометрии

В пространстве любая точка задаётся тройкой координат $(x, y, z)$. Плоскость, содержащая оси X и Y, называется плоскостью XY или горизонтальной плоскостью; ось Z перпендикулярна ей. Основные объекты аналитической геометрии в пространстве:

• Прямая — множество точек, для которых две координаты постоянны, например $x = a$, $y = b$.
• Плоскость — множество точек, удовлетворяющих уравнению $Ax + By + Cz + D = 0$.
• Координатные плоскости — XY, XZ и YZ, каждая из которых содержит две оси и перпендикулярна третьей.

Уравнение оси Z в декартовой системе координат записывается как $x = 0$, $y = 0$; множество точек на оси имеет вид $(0, 0, z)$, где z пробегает всю числовую прямую.

¶Ось Z в физике и технике

В физике ось Z традиционно выбирается вертикальной, перпендикулярной поверхности Земли. В механике вдоль оси Z откладывают высоту, в электротехнике и радиофизике ось Z иногда используется как ось симметрии цилиндрических волноводов и антенн. В компьютерной графике ось Z отвечает за глубину сцены; в трёхмерных системах координат (Blender, Unreal Engine, OpenGL) направление оси Z зависит от выбранного соглашения — правой или левой системы, «Z-up» или «Y-up».

В машинном строительстве и черчении ось Z соответствует вертикальной подаче шпинделя станка. В геодезии и картографии ось Z связана с высотой точки над уровнем моря или эллипсоида.

¶Ось Z в линейной алгебре

Поворот вокруг оси Z описывается матрицей:

$$R_z(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Такая матрица является элементом ортогональной группы SO(3) и сохраняет координату z любой точки. Повороты вокруг осей X, Y и Z являются элементарными и используются при описании ориентации твёрдых тел в пространстве (углы Эйлера, кватернионы).

¶Ось Z в комплексном анализе

В теории функций комплексного переменного ось Z традиционно обозначает комплексную плоскость, где аргумент z = x + iy. Это историческое обозначение не связано с третьей координатой пространства, но приводит к неоднозначности: в разных контекстах буква z может означать либо комплексное число, либо третью координату. При описании римановых сфер используется и то, и другое одновременно — комплексная плоскость дополняется точкой на бесконечности и отождествляется с поверхностью сферы в трёхмерном пространстве.

¶Ось Z в сканвордах

В русскоязычных кроссвордах и сканвордах определение «ось Z» традиционно разгадывается словом «вертикаль» (9 букв). Это соответствует основному смыслу оси Z как направления, перпендикулярного горизонтальной плоскости. Другие возможные варианты ответов — «высота» (7 букв) или «перпендикуляр» (13 букв) — в стандартных сканвордах используются реже из-за несоответствия длине.

¶Интересные факты

• В архитектуре и строительстве ось Z соответствует высоте здания; в BIM-моделировании (Revit, ArchiCAD) вертикальная ось проекта всегда обозначается Z.
• Аббревиатура Z-ось используется в названиях технологий: 3D-печать, 3D-сканирование, 3D-моделирование — во всех случаях Z отвечает за третью размерность.
• В астрономии ось Z галактической системы координат направлена к северному полюсу галактики.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. «Курс истории математики».
• Эйлер Л. «Введение в анализ бесконечных».
• Арнольд В. И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения».
• Русскоязычные справочники по аналитической геометрии и линейной алгебре.