Ось симметрии¶

Ось симметрии — прямая, относительно которой геометрическая фигура или тело совмещается самой с собой при зеркальном отражении; один из основных видов осевой симметрии в геометрии. Если фигура допускает такое отражение, она называется симметричной относительно данной прямой, а сама прямая является её осью симметрии. Число осей симметрии — важный инвариант фигуры: оно не меняется при ригидных преобразованиях (переносе, повороте, отражении) и позволяет классифицировать фигуры по степени симметрии.

¶Основные понятия

Пусть дана плоская фигура F и прямая l. Фигура F симметрична относительно прямой l, если при отражении всей плоскости относительно l фигура F переходит в саму себя. Точка A и точка A', симметричные относительно прямой l, связаны тем, что l перпендикулярна отрезку AA' и проходит через его середину. Если каждая точка фигуры имеет на этой же фигуре свою симметричную точку, фигура обладает осью симметрии.

Для тел в пространстве ось симметрии определяется через вращение: прямая l является осью симметрии трёхмерного тела, если поворот тела вокруг l на любой угол совмещает тело с собой. Такие тела называются телами вращения или симметричными относительно оси. Иногда вводят понятие плоскости симметрии — аналога оси для пространственных фигур: плоскость, относительно которой тело переходит в себя при зеркальном отражении.

¶Оси симметрии плоских фигур

Каждая плоская фигура может иметь различное число осей симметрии — от нуля до бесконечности.

• Прямая — бесконечно много осей: любая прямая, перпендикулярная данной и проходящая через её точку, является осью симметрии.
• Окружность — любая прямая, проходящая через центр, является осью симметрии (их бесконечно много).
• Правильный n-угольник — ровно n осей симметрии, каждая проходит через вершину и середину противоположной стороны (для чётного n — через пары противоположных вершин или середины сторон).
• Прямоугольник (не квадрат) — 2 оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон.
• Квадрат — 4 оси симметрии: 2 через середины сторон и 2 по диагоналям.
• Равносторонний треугольник — 3 оси симметрии, каждая — высота (медиана, биссектриса, серединный перпендикуляр).
• Ромб (не квадрат) — 2 оси симметрии, совпадающие с диагоналями.
• Параллелограмм (не прямоугольник и не ромб) — осей симметрии не имеет.
• Эллипс — 2 оси симметрии, совпадающие с большей и меньшей осями.

Фигуры без осей симметрии называют асимметричными; пример — произвольный треугольник или неправильный пятиугольник.

¶Оси симметрии многогранников и тел

В пространстве число осей симметрии тела может быть конечным или бесконечным.

• Шар — любая прямая через центр является осью симметрии.
• Правильный n-угольный призма — ось, проходящая через центры оснований, а также оси, проходящие через середины противоположных рёбер боковых граней (при определённых условиях).
• Тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр — правильные многогранники, число осей симметрии которых определяется их симметрической группой (у куба, например, 13 осей: 3 через центры противоположных граней, 6 через середины противоположных рёбер, 4 по пространственным диагоналям).
• Конус и цилиндр — ось, проходящая через вершину конуса и центр основания, или через центры оснований цилиндра.

¶Связь с группами симметрии

Оси симметрии плоской фигуры тесно связаны с понятием группы симметрии — группы изометрий, оставляющих фигуру на месте. Отражение относительно оси — элементарный элемент такой группы. Конечная группа симметрии плоской фигуры либо циклическая (состоит из поворотов), либо диэдральная (содержит повороты и отражения). Диэдральная группа D_n соответствует фигуре с n осями симметрии и n-кратной осевой симметрией (поворотной). Если у фигуры есть хотя бы одна ось симметрии и n-кратный центр (поворот на 360°/n), то число осей равно n.

Для пространственных тел группы симметрии изучаются в теории кристаллографии: 32 класса точечных симметрий кристаллов описываются комбинациями осей вращения (1-, 2-, 3-, 4-, 6-кратных), плоскостей отражения и центра инверсии.

¶Применение

Понятие оси симметрии применяется в геометрии, физике (законы сохранения и симметрия), кристаллографии, архитектуре и технике. В школьном курсе геометрии построение симметричных фигур и нахождение осей симметрии — стандартные задачи, развивающие пространственное мышление. В кристаллографии оси симметрии кристаллической решётки определяют возможные формы минералов. В технике симметрия относительно оси используется при проектировании деталей вращения (валов, шестерён, корпусов), что упрощает расчёты и изготовление.

¶История

Понятие симметрии восходит к античности: древнегреческие архитекторы использовали симметрию при построении храмов. Систематическое изучение осей симметрии началось в XVII–XVIII веках в связи с развитием аналитической геометрии. В XIX веке понятие симметрии было обобщено в работах Эвариста Галуа, Феликса Кляйна (программа Эрлангена, 1872) и Софуса Ли, связавших симметрию с теорией групп. Кристаллографическая классификация симметрий была создана в XIX столетии Августом Браве и Артуром Шёнфлисом.