Ортогональность в математике и лингвистике¶

Ортогональный (от греч. ὀρθός — прямой и γωνίя — угол) — термин, обозначающий взаимную независимость, перпендикулярность или непересекаемость объектов в определённом пространстве. В исходном геометрическом смысле ортогональными называют элементы, расположенные под прямым (90°) углом друг к другу. Позднее понятие было обобщено на линейную алгебру, статистику, лингвистику, информатику и философию, где ортогональность означает независимость свойств или операций.

¶Этимология

Слово происходит от латинизированного греческого составного orthogonius (ὀρθογώνιος): orthos — прямой, правильный и gonia — угол. В русский язык термин пришёл в XIX веке вместе с развитием аналитической геометрии и теории чисел.

¶Математика

¶В евклидовой геометрии

В планиметрии и стереометрии ортогональными называют прямые, отрезки, лучи и плоскости, пересекающиеся под прямым углом. Ортогональные отрезки, исходящие из одной точки, образуют ортонормированный базис, если имеют единичную длину. Квадратные матрицы, столбцы которых образуют ортогональный базис, называются ортогональными: их обратная матрица совпадает с транспонированной.

¶В линейной алгебре

Обобщение понятия перпендикулярности — ортогональность в евклидовом пространстве. Два вектора u и v ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю: u · v = 0. Более общо, ортогональность определяется через скалярное произведение в пространстве, допускающем введение внутреннего произведения. Подпространства U и W ортогональны, если каждый вектор U ортогонален каждому вектору W. Теорема об ортогональной проекции позволяет разложить любой вектор в евклидовом пространстве на сумму компонент, принадлежащих ортогональным подпространствам.

Ортогональные преобразования — линейные отображения, сохраняющие длину вектора; их матрицы составляют ортогональную группу O(n). Важнейшим примером является поворот в плоскости.

¶В теории функций

Две функции f и g на отрезке [a, b] ортогональны, если их интеграл от произведения равен нулю. На этом основано тригонометрическое разложение Фурье: система функций {sin nx, cos nx} ортогональна на [−π, π], что позволяет разложить произвольную периодическую функцию в ряд по «перпендикулярным» составляющим. Аналогичный принцип лежит в основе ортогональных полиномов — шебышёвских, лежандра, эрмитовых, лагерровых.

¶В теории чисел

Ортогональные системы характеров — основа классического анализа на конечных группах. Ортогональность характеров позволяет выделять неприводимые представления группы.

¶Статистика и обработка данных

В статистике ортогональность переменных означает их некоррелированность: коэффициент корреляции между ними равен нулю. Метод главных компонент строит новые оси, ортогональные друг другу и направлениям максимальной дисперсии. В планировании экспериментов ортогональные массивы гарантируют, что эффекты факторов оцениваются независимо друг от друга.

¶Лингвистика

В лингвистике термин «ортогональность» ввёл Роман Якобсон для обозначения независимости языковых уровней: фонетического, морфологического, синтаксического и семантического. Ортогональные категории — такие, как род и число у существительного, — могут изменяться независимо: каждое значение одной категории сочетается с каждым значением другой. Пример — система времён и наклонений глагола, где формы времени и наклонения образуют перекрёстную, ортогональную сетку.

¶Информатика и программирование

В теории программирования ортогональность описывает независимость языковых конструкций: если любая комбинация операторов допустима и каждая новая возможность работает с уже существующими без модификации последних, язык называют ортогональным. Термин применяется к наборам инструкций процессоров (ортогональная архитектура команд), где операнды и коды операций задаются независимо. В проектировании баз данных ортогональность таблиц означает отсутствие избыточных связей.

¶Философия и методология

В философии и социологии под ортогональностью понимают независимость двух шкал или классификаций: изменение значения по одной не влечёт изменение по другой. Политологи используют понятие «ортогональных измерений» политического пространства, например, разведения экономической оси (левые — правые) и социокультурной (либеральные — консервативные) позиций.

¶Смежные понятия

• Перпендикулярность — частный случай ортогональности в геометрии.
• Независимость — вероятностное обобщение ортогональности.
• Ортонормированность — ортогональность при дополнительном условии единичной нормы.

¶История

Понятие перпендикулярности известно со времён Евклида (около 300 года до н. э.). Алгебраическое выражение ортогональности через скалярное произведение появилось в работах Германа Грассмана и Уильяма Гамильтона в середине XIX века. Термин «ортогональные функции» закрепился после работ Шарля Эрмита и Жозеф Фурье. Обобщение на произвольные пространства с внутренним произведением связано с именами Джона фон Неймана и Стефана Банаха.

Источники:

• Курош А. Г. Курс линейной алгебры
• Шаумский Д. А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц
• Якобсон Р. О. Лингвистика и поэтика
• Хорн Р., Джонсон К. Матричный анализ