Ортогональная проекция¶

Ортогональная проекция — вид центральной проекции, при которой проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. В отличие от перспективного изображения, ортогональная проекция сохраняет истинные размеры и пропорции предметов, расположенных параллельно плоскости проекций, что делает её основным инструментом черчения, инженерной графики и компьютерного трёхмерного моделирования.

¶Математическое определение

В линейной алгебре ортогональной проекцией называется линейный оператор $P$, отображающий вектор пространства $V$ на заданное подпространство $U \subseteq V$ так, что разность исходного вектора и его проекции ортогональна $U$. Для евклидова пространства проекция вектора $\mathbf{x}$ на подпространство $U$ с ортонормированным базисом $\{\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_k\}$ вычисляется по формуле:

$$P_U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{k} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_i \rangle \mathbf{e}_i$$

Оператор проекции обладает свойством идемпотентности: $P^2 = P$. Матрица ортогональной проекции в ортонормированном базисе симметрична, а её собственные значения равны нулю или единице. Теорема Бесселя и неравенство Катцобсона-Крейна связывают ортогональные проекции с наилучшим приближением в пространствах Хилберта.

¶Проекции в черчении и инженерной графике

В техническом черчении ортогональные проекции получают путём ортогонального проецирования предмета на три взаимно перпендикулярные плоскости — горизонтальную (H), фронтальную (V) и профильную (W). Результат разворачивают в единую плоскость, получая систему видов, принятую в ГОСТ 2.305—2008.

Различают два основных метода построения:

• Метод прямоугольных проекций (европейская система第一角) — предмет располагают между наблюдателем и плоскостью проекций. Принят в России и большинстве стран Европы.
• Метод аксонометрических проекций — используется для наглядного изображения объёмных тел.

В США и Канаде применяется система третьего угла, где плоскость проекций находится между предметом и наблюдателем.

¶Виды ортогональных изображений

Для упрощения чертежей используют выносные и разрезы, а также упрощения по ГОСТ 2.305.

¶Аксонометрические проекции

Аксонометрия — способ изображения объёмного тела в одной плоскости, при котором три оси координат проецируются на плоскость и сохраняют взаимную связь. Различают:

• Изометрию — все три оси сокращаются одинаково, углы между осями в проекции равны 120°.
• Диметрию — две оси сокращаются одинаково, третья — иначе.
• Триметрию — все оси сокращаются по-разному.

Аксонометрические проекции делятся на прямоугольные (ось проецирования перпендикулярна плоскости) и косоугольные (оси проецирования наклонены к плоскости).

¶Применение в компьютерной графике

В трёхмерной компьютерной графике ортогональная камера формирует изображение без перспективного сокращения: размер объекта не зависит от расстояния до камеры. Такой режим используется в:

• CAD-системах (AutoCAD, КОМПАС-3D) — для построения точных чертежей;
• играх с видом сверху — для обеспечения одинакового масштаба по всей карте;
• визуализации архитектурных проектов — для фасадных видов.

Матрица ортогональной проекции в однородных координатах имеет вид:

$$ \begin{pmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{2}{f-n} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

где $l, r, b, t, n, f$ — границы отсекающего объёма (frustum).

¶Ортогональные функции и ряды

Понятие ортогональной проекции лежит в основе теории функциональных рядов. Ряд Фурье — это разложение функции в ортонормированном базисе тригонометрических функций, где каждая коэффициент является проекцией на соответствующую функцию. Аналогично строятся:

• Полиномы Лежандра — ортогональны на отрезке $[-1, 1]$;
• Полиномы Чебышёва — ортогональны с весовой функцией;
• Сферические гармоники — ортогональны на сфере.

В квантовой механике наблюдаемые величины выражаются через проекции состояния системы на собственные функции оператора, что является обобщением идеи ортогональной проекции на бесконечномерные пространства.

¶Сравнение с перспективной проекцией

¶История

Систематическое использование ортогональных проекций в черчении связано с работами итальянских зодчих эпохи Возрождения. Филиппо Брунеллески сформулировал принципы линейной перспективы, а его современник Леон Баттиста Альберти в трактате «О живописи» (1435) описал геометрические основы проецирования. Математическое обоснование ортогональных проекций дал Гаспар Монж в труде «Стереотомия» (1798), заложивший основы начертательной геометрии. В XX веке ортогональные проекции стали фундаментом компьютерного черчения и стандартов ISO, а также отечественных ГОСТ.

¶Источники

• Бобынин В. В. «Курс начертательной геометрии»
• ГОСТ 2.305—2008 «ЕСКД. Изображения. Виды, разрезы, сечения»
• Рогов В. А. «Курс начертательной геометрии»
• Фёдоров Ф. П. «Черчение: Курс начертательной геометрии»
• Хартл Д. «Общая теория относительности» (о проекциях в физике)