Объединение фигур¶
Объединение фигур — операция над геометрическими фигурами, в результате которой из двух или нескольких исходных фигур получается одна составная фигура. В школьной математике объединение фигур рассматривается как часть темы «Геометрические преобразования и работа с плоскими фигурами» и служит основой для вычисления площадей составных фигур.
¶Определение и основные понятия
Объединение фигур — это построение новой фигуры, которая содержит все точки исходных фигур. Если даны фигуры A и B, их объединение обозначается A ∪ B (символ объединения множеств). Каждая точка, принадлежащая хотя бы одной из исходных фигур, входит в объединение.
При объединении фигур возможны три основные ситуации расположения исходных фигур относительно друг друга:
- Фигуры не пересекаются (лежат раздельно). Объединение представляет собой совокупность обеих фигур.
- Фигуры пересекаются (имеют общую часть). Объединение включает все точки обеих фигур, включая область пересечения.
- Одна фигура содержит другую. Объединение совпадает с большей фигурой.
¶Свойства объединения фигур
Объединение фигур обладает рядом математических свойств:
- Коммутативность: A ∪ B = B ∪ A — порядок объединения не влияет на результат.
- Ассоциативность: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) — при последовательном объединении нескольких фигур порядок группировки не важен.
- Поглощение: если A ⊂ B, то A ∪ B = B.
- Связь с площадью: площадь объединения равна сумме площадей исходных фигур минус площадь их пересечения: S(A ∪ B) = S(A) + S(B) − S(A ∩ B). Эта формула известна как формула включений-исключений для двух множеств.
¶Объединение простых геометрических фигур
¶Объединение отрезков
При объединении двух отрезков на прямой возможны три результата:
- отрезок (если отрезки пересекаются или имеют общую конечную точку);
- два отрезка (если отрезки раздельны);
- пустое множество (если оба отрезка пусты).
¶Объединение прямоугольников
Объединение двух прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, может дать:
- прямоугольник (если прямоугольники лежат на одной прямой и соприкасаются);
- L-образную фигуру (уголок) — если прямоугольники пересекаются вдоль одного направления;
- ступенчатую фигуру — при более сложном расположении;
- два отдельных прямоугольника — если они раздельны.
Площадь объединения прямоугольников вычисляется по формуле S(A ∪ B) = S(A) + S(B) − S(A ∩ B), где S(A ∩ B) — площадь их пересечения (прямоугольника или нуля, если пересечения нет).
¶Объединение многоугольников
Объединение двух выпуклых многоугольников не всегда является выпуклым многоугольником. Результат может быть невыпуклым многоугольником или даже содержать «вырезы». Наименьший выпуклый многоугольник, содержащий объединение, называется выпуклой оболочкой объединения.
¶Объединение окружностей и кругов
Объединение двух кругов может представлять собой:
- один круг (если один круг содержится в другом);
- фигуру, ограниченную двумя дугами («миндалевидную» фигуру) — если круги пересекаются;
- два отдельных круга — если круги раздельны.
¶Объединение фигур на координатной плоскости
В аналитической геометрии объединение фигур описывается системами неравенств. Например, объединение двух прямоугольников задаётся объединением систем неравенств, описывающих каждый прямоугольник. При решении задач на координатной плоскости объединение часто требуется для определения области, в которой выполняется хотя бы одно из условий.
¶Объединение фигур в объёмной геометрии
Операция объединения распространяется и на трёхмерные тела. Объединение двух параллелепипедов, цилиндров или других объёмных фигур строится по тем же принципам, что и для плоских фигур. Объём объединения вычисляется по формуле V(A ∪ B) = V(A) + V(B) − V(A ∩ B).
¶Применение
Объединение фигур находит применение в различных областях:
- Школьное обучение: вычисление площадей составных фигур, построение сложных геометрических объектов из простых.
- Компьютерная графика: объединение (union) — одна из основных булевых операций над трёхмерными моделями наряду с пересечением и вычитанием.
- Картография и геоинформационные системы: объединение полигонов при объединении земельных участков, административных границ.
- Проектирование и CAD-системы: объединение деталей при моделировании составных объектов.
- Математическая логика и теория множеств: объединение множеств — базовая операция, обобщение которой на геометрические фигуры и есть объединение фигур.
¶Смежные операции
Наряду с объединением в геометрии рассматриваются операции пересечения фигур (множество точек, общих для обеих фигур) и разности фигур (часть одной фигуры, не принадлежащая другой). Эти три операции образуют основу булевой алгебры над множествами точек плоскости.
¶Источники
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 7–11 классы.
- Погорелов А. В. Геометрия. 7–11 классы.
- Киселёва С. В. Математика. 5–6 классы.
- Энциклопедия элементарной математики. Том 2. Геометрия.