Момент импульса в механике¶

Момент импульса — векторная физическая величина, характеризующая вращательное движение материальной точки или системы частиц; равна векторному произведению радиуса-вектора точки на её импульс. Момент импульса является одним из основных кинематических и динамических понятий классической механики, а также играет центральную роль в квантовой механике, где оператор момента импульса определяет спектры атомных состояний.

¶Определение и математическая запись

Для материальной точки момент импульса относительно начала координат определяется формулой:

L = r × p = m (r × v),

где r — радиус-вектор точки, p = mv — её импульс, m — масса, v — скорость. Момент импульса — вектор, перпендикулярный плоскости, образованной r и v; направление определяется правилом правого винта. Модуль выражается как L = mvr sin θ, где θ — угол между радиус-вектором и скоростью.

Для системы из N частиц момент импульса относительно начала координат равен сумме моментов импульсов отдельных частиц:

L = Σᵢ mᵢ (rᵢ × vᵢ).

Момент импульса относительно произвольной точки A вычисляется по формуле L_A = Σᵢ mᵢ ((rᵢ − r_A) × vᵢ).

Для абсолютно твёрдого тела момент импульса связан с угловой скоростью ω тензором инерции J:

L = J · ω.

В отличие от линейного импульса, момент импульса зависит от выбора точки (или оси), относительно которой он вычисляется.

¶Соотношение с угловой скоростью

Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, момент импульса относительно оси равен L = Jω, где J — момент инерции тела относительно этой оси, ω — угловая скорость. Угловой момент (синоним момента импульса в контексте вращательного движения) имеет размерность кг·м²/с, что эквивалентно Дж·с.

¶Закон сохранения момента импульса

Основное динамическое свойство момента импульса формулируется через его производную по времени:

dL/dt = M,

где M — момент силы (вращающий момент) относительно той же точки. Это векторное соотношение является вторым законом Ньютона в моментной форме.

Если момент внешней силы относительно некоторой точки равен нулю, момент импульса системы относительно этой точки сохраняется. Это закон сохранения момента импульса — один из фундаментальных законов природы, следующий из изотропности пространства (теорема Нётер).

Закон сохранения момента импульса объясняет множество явлений:

• сохранение ориентации в пространстве (отсутствие «предпочтительного» направления вращения);
• ускорение вращения фигуристки при подтягивании рук к телу (уменьшение момента инерции при сохранении L);
• прецессию гироскопа и магнитного момента;
• стабильность орбит планет и спутников.

¶Момент импульса в квантовой механике

В квантовой механике момент импульса — квантованная величина. Оператор момента импульса L̂ = r̂ × p̂ удовлетворяет коммутационным соотношениям [L̂ₓ, L̂_y] = iħL̂_z и циклическим перестановкам. Собственные значения квадрата оператора L̂² равны ħ²l(l+1), где l = 0, 1, 2, ... — орбитальное квантовое число; проекция L̂_z принимает значения mₗħ, где mₗ = −l, ..., l.

Помимо орбитального момента импульса, у элементарных частиц и электронов в атомах существует спин — собственный (внутренний) момент импульса, не связанный с движением в пространстве. Спин электрона равен ħ/2 и является фундаментальной характеристикой частицы.

¶Примеры задач

Классические задачи на момент импульса включают:

1. Задача Кеплера — движение планеты под действием центральной силы тяготения: момент импульса сохраняется, отсюда следует вторый закон Кеплера (равные площади описываются за равные промежутки времени).
2. Ударное взаимодействие — при столкновении тел момент импульса системы сохраняется, даже если линейный импульс меняется под действием внешних сил.
3. Вращение тела вокруг неподвижной точки — момент импульса меняется под действием момента силы тяжести; при отсутствии момента направление L сохраняется.

¶История

Понятие момента импульса сформировалось в XVII–XVIII веках в работах Исаака Ньютона, Христиана Гюйгенса и Леонарда Эйлера. Ньютон в «Математических началах натуральной философии» (1687) сформулировал закон сохранения «количество движения вращения». Термин «момент импульса» и его векторная формулировка были окончательно оформлены к концу XIX века в трудах по аналитической механике.

¶История

Понятие момента импульса сформировалось в XVII–XVIII веках в работах Исаака Ньютона, Христиана Гюйгенса и Леонарда Эйлера. Ньютон в «Математических началах натуральной философии» (1687) сформулировал закон сохранения «количество движения вращения». Термин «момент импульса» и его векторная формулировка были окончательно оформлены к концу XIX века в трудах по аналитической механике.

¶Источники

• Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика.
• Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Механика. — М.: Наука.
• Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.: Наука.
• Гольдштейн Г. Классическая механика. — М.: Наука.