Медиана в статистике¶

Медиана — один из основных описательных показателей центральной тенденции в статистике, представляющий собой значение, делящее упорядоченный набор данных на две равные по количеству элементов части. Если набор данных отсортирован по возрастанию, медиана — это элемент, стоящий ровно посередине: при нечётном числе наблюдений это центральный элемент, при чётном — среднее арифметическое двух центральных элементов. Медиана устойчива к выбросам и аномальным значениям, что отличает её от среднего арифметического и делает её предпочтительным показателем для описания асимметричных распределений.

¶Определение и вычисление

Пусть имеется набор числовых данных $x_1, x_2, \dots, x_n$. Для нахождения медианы данные упорядочиваются по возрастанию: $x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(n)}$.

• При нечётном $n$ медиана — это элемент $x_{((n+1)/2)}$.
• При чётном $n$ медиана вычисляется как среднее арифметическое двух центральных элементов: $M_e = \frac{x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)}}{2}$.

Например, для набора {3, 7, 1, 9, 5} после сортировки получается {1, 3, 5, 7, 9}, медиана равна 5. Для набора {2, 4, 6, 8} медиана составляет (4 + 6) / 2 = 5.

¶Медиана и распределения

Для непрерывного распределения вероятностей медиана — это значение $m$, при котором функция распределения принимает значение 0,5: $F(m) = 0{,}5$. Это означает, что вероятность попадания случайной величины в интервал $(-\infty; m]$ равна вероятности попадания в интервал $[m; +\infty)$, и обе равны 0,5.

Для нормального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой. Для скошенных распределений (например, логнормального или распределения Парето) медиана существенно отличается от среднего арифметического: в правосторонне скошенном распределении медиана меньше среднего, поскольку большие значения «притягивают» среднее вправо.

¶Медиана и среднее арифметическое

Медиана устойчива к выбросам: добавление одного экстремального значения (например, 1000 в набор {1, 2, 3}) практически не изменит медиану, тогда как среднее арифметическое сместится существенно. Это свойство делает медиану предпочтительной при описании доходов населения, цен на недвижимость и других величин с выраженной асимметрией.

¶Стандартное отклонение и размах

Разность между медианами двух распределений используется в непараметрической статистике. Для оценки разброса данных относительно медианы вводится понятие квадратичного отклонения от медианы (mean absolute deviation from median), а также межквартильного размаха (IQR = Q3 − Q1), где Q1 и Q3 — нижний и верхний квартили, а медиана совпадает с вторым квартилем (Q2).

¶Статистические оценки

Для выборочных данных медиана является оценкой медианы генеральной совокупности. Оценка медианы является состоятельной и асимптотически несмещённой, однако её асимптотическая дисперсия в $π/2 ≈ 1{,}57$ раза превышает дисперсию оценки среднего арифметического для нормального распределения. Для распределений с «тяжёлыми хвостами» (например, распределения Коши) медиана, напротив, существенно эффективнее среднего арифметического, которое в этом случае вообще не имеет математического ожидания.

¶Применение

Медиана широко применяется в:

• Описательной статистике — как мера центральной тенденции, особенно для данных с выбросами.
• Экономике и социологии — медианный доход является стандартным показателем благосостояния (в отличие от среднего дохода, искажаемого богатыми слоями населения).
• Медицине — медиана времени выживания пациентов в клинических исследованиях.
• Качестве программного обеспечения — медиана времени выполнения задач в бенчмарках.
• Непараметрической статистике — медиана лежит в основе ранговых методов (знаковый критерий, критерий Уилкоксона).

¶История

Понятие медианы ввёл в обиход статистик Фрэнсис Эджуорт в 1880-х годах, хотя сама идея «центра» распределения использовалась и ранее. Термин «медиана» закрепился в статистической литературе в начале XX века и стал стандартным наряду со средним арифметическим и модой.

¶Источники

• Кобзарь А. И. «Математическая статистика»
• Шерemet Е. А. «Теория вероятностей и математическая статистика»
• Мандель Б. Д. «Статистическое исследование в экономике»
• Croux C., Dehon C. «Estimation of the location of a distribution: median and trimmed mean»