Медиана — статистический показатель центральной тенденции¶

Медиана — это значение, разделяющее упорядоченный набор данных на две равные по числу элементов части. Медиана относится к показателям центральной тенденции наряду со средним арифметическим и модой. В отличие от среднего арифметического, медиана устойчива к выбросам, поэтому широко применяется в статистике, экономике, медицине и анализе данных.

¶Определение и вычисление

Медиана обозначается как Me. Для вычисления медианы набор данных сначала упорядочивают по возрастанию или убыванию.

• Если число наблюдений n нечётное, медиана — это элемент, стоящий на позиции (n + 1) / 2.
• Если n чётное, медиана — это среднее арифметическое двух центральных элементов.

Пример: набор {3, 7, 1, 9, 5}. После упорядочивания: {1, 3, 5, 7, 9}. Элементов пять, медиана — третий элемент: Me = 5.

Пример с чётным числом: набор {2, 4, 6, 8}. Два центральных элемента — 4 и 6, медиана: Me = (4 + 6) / 2 = 5.

Для группированных данных медиана вычисляется по формуле интерполяции:

Me = x₀ + (n/2 − S) / f · h

где x₀ — нижняя граница медианного класса, n — общее число наблюдений, S — накопленная частота до медианного класса, f — частота медианного класса, h — ширина класса.

¶Свойства медианы

• Медиана всегда принадлежит исходному набору данных, если число элементов нечётное.
• Сумма абсолютных отклонений наблюдений от медианы меньше, чем от любого другого значения — это свойство делает медиану оптимальной точкой для минимизации абсолютных ошибок.
• Медиана нечувствительна к экстремальным значениям: добавление одного очень большого или очень малого числа почти не сдвигает медиану, в то время как среднее арифметическое может измениться существенно.
• Для симметричных распределений медиана совпадает со средним арифметическим и модой.
• Медиана делит распределение пополам: 50 % наблюдений меньше неё и 50 % — больше.

¶Медиана и среднее арифметическое

Сравнение медианы и среднего арифметического:

Для асимметричных распределений со смещённым правым хвостом (например, распределение доходов) медиана, как правило, меньше среднего арифметического. Именно медиана чаще используется при описании типичного дохода населения, так как среднее арифматическое искажается крупными значениями.

¶Медиана в теории вероятностей

Для случайной величины медиана — это значение m, при котором P(X ≤ m) ≥ 0,5 и P(X ≥ m) ≥ 0,5. Медиана нормального распределения совпадает с математическим ожиданием и модой. Для равномерного распределения на отрезке [a, b] медиана равна (a + b) / 2.

¶Межквартильный размах

Медиана тесно связана с квартилями: первый квартиль Q₁ — медиана нижней половины данных, третий квартиль Q₃ — медиана верхней половины. Межквартильный размах IQR = Q₃ − Q₁ описывает разброс центральных 50 % данных. Межквартильный размах применяется для выявления выбросов: выбросами считаются значения, отстоящие от Q₁ более чем на 1,5 · IQR или от Q₃ более чем на 1,5 · IQR.

¶Применение

• Экономика и социология — медианный доход, медианная цена жилья, медианный возраст населения.
• Медицина — медиана времени выживания пациентов в клинических исследованиях (показатель, устойчивый к выбросам).
• Промышленность — медиана срока службы изделий, медианное время между отказами.
• Информатика — медиана используется в алгоритмах сортировки и поиска (например, алгоритм быстрого выбора, алгоритм «median of medians» с гарантированной сложностью O(n)).
• Строительство и геодезия — медиана треугольника, отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны; медианы треугольника пересекаются в одной точке — центроиде.

¶Медиана треугольника

В геометрии медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке — центроиде, которая делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины. Центроид является центром масс треугольника.

¶Особенности вычисления в статистических пакетах

В языке R медиана вычисляется функцией median(). В Python (библиотеки NumPy и pandas) — numpy.median() и Series.median(). В Microsoft Excel — функция МЕДИАНА(). В большинстве пакетов пропущенные значения (NaN) по умолчанию исключаются из расчёта.

¶История

Понятие медианы ввёл в обиход статистик XIX века Фрэнсис Гальтон, хотя само понятие середины упорядоченного ряда использовалось и ранее. Термин «медиана» происходит от латинского medianus — «средний, находящийся посередине».

¶Источники

• Кобзарь А. И. «Математическая статистика»
• Болшев Л. Н., Смирнов Н. С. «Таблицы математической статистики»
• Гмурман В. Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»