Ломанная линия в математике¶

Ломанная линия — это кусочно-линейная кривая на плоскости или в пространстве, состоящая из конечного числа звеньев — прямых отрезков, соединённых последовательно своими концами. Точки, в которых отрезки соединяются, называются узлами или вершинами ломаной. Ломанная является одним из базовых объектов геометрии и топологии, а также распространённой фигурой в кроссвордах и словесных играх, где ответом на подсказку «ломанная линия» служит шестилетерное слово «уголок».

¶Определение и обозначения

Формально ломанная $AB$ с вершинами $A_0, A_1, \dots, A_n$ — это объединение отрезков $A_0A_1, A_1A_2, \dots, A_{n-1}A_n$. Число отрезков $n$ называется длиной ломаной (по числу звеньев), а количество вершин равно $n+1$. Если начальная и конечная вершины совпадают ($A_0 = A_n$), ломанная называется замкнутой; в противном случае она незамкнутая. Ломанная называется простой, если она не пересекает сама себя, то есть любые два её звена имеют не более одной общей точки — общей вершины.

Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев. Для ломаной с вершинами $(x_0,y_0), (x_1,y_1), \dots, (x_n,y_n)$ на плоскости длина вычисляется по формуле:

$$L = \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + (y_i - y_{i-1})^2}.$$

¶Основные свойства

• Связность. Ломанная является связным множеством, то есть любые две её точки можно соединить непрерывной кривой, лежащей внутри ломаной.
• Разбиение плоскости. Незамятая (простая) незамкнутая ломанная, по теореме Жордана для кривых, не разделяет плоскости, тогда как замкнутая простая ломанная разделяет её на внутреннюю и внешнюю области.
• Аппроксимация. Любая непрерывная кривая на отрезке может быть сколь угодно точно приближена ломаной — это свойство лежит в основе понятия интегрируемости по Жордану и построения интеграла Римана.
• Выпуклая оболочка. Выпуклая оболочка конечного набора точек является замкнутой ломаной (многоугольником).

¶Частные случаи

Ломеный угол — частный случай ломаной из двух звеньев, имеющий общую вершину; именно это понятие стоит за шестилетерным ответом «уголок» в кроссвордной традиции. Слово «уголок» (6 букв: У-Г-О-Л-О-К) является уменьшительной формой от «угол» и в словарях кроссвордистов традиционно маркируется подсказками вида «ломаная линия», «ломаный угол», «излом».

¶Применение

¶В математике

Ломаные играют ключевую роль в анализе и топологии. Понятие длины ломаной позволяет определить длину произвольной кривой как предел длин вписанных ломаных при уточнении разбиения. В численных методах ломаные используются для интерполяции и аппроксимации функций (метод кусочно-линейной интерполяции). В теории графов ломаная соответствует пути в графе.

¶В картографии и геодезии

Границы государств, береговые линии и изолинии на картах часто изображаются ломаными — это следствие дискретизации при съёмке и картографировании. Построение триангуляции и полигональных сеток в геодезии сводится к работе с системами ломаных.

¶В компьютерной графике

Полигональные модели — основа трёхмерной компьютерной графики — представляют собой замкнутые ломаные (многоугольники) в пространстве. Алгоритмы растеризации, отсечения и сглаживания работают именно с такими объектами. Форматы хранения векторной графики (SVG, PostScript) описывают контуры фигур как последовательности отрезков и кривых Безье, где линейный участок является вырожденным случаем кривой.

¶В кроссвордах и словесных играх

В словарях кроссвордистов «ломаная линия» традиционно разгадывается как «уголок» — слово, устойчиво ассоциирующееся с изломом, поворотом. Существуют и другие варианты: «зигзаг» (6 букв), «излом» (5 букв), однако именно «уголок» является наиболее частым ответом на подсказку о ломаной линии длиной шесть букв.

¶История

Понятие ломаной восходит к античной геометрии: Евклид в «Началах» оперирует отрезками и построенными на них фигурами. Систематическое изучение ломаных как аппроксирующего инструмента началось в XVII веке вместе с развитием аналитической геометрии Декарта и Ферма. В XIX веке, в связи с работами Вейерштрасса, Пеано и Жордана по непрерывным кривым, ломаные получили новое значение: пример непрерывной, но нигде не дифференцируемой кривой Пеано строится как предел последовательности ломаных, заполняющих квадрат.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
• Понятов А. С. Словарь кроссвордиста
• Александров П. С. Лекции по анализу
• Куратовский К. Топология