Логарифмическая функция в школьной программе¶
Логарифмы — это раздел алгебры, изучаемый в старшей школе; в российской системе образования тема «Логарифмическая функция и уравнения» традиционно относится к курсу алгебры для 11 класса (профильный уровень), хотя отдельные элементы — понятие степени с целым и рациональным показателем, свойства степенных функций — закладываются в 8–9 классах.
¶Где в программе стоят логарифмы
Согласно федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС ООО) и примерным рабочим программам, рекомендованным Министерством просвещения РФ, блок «Числа и вычисления»/«Алгебра и начала математического анализа» для 10–11 классов включает:
- 10 класс — степени и корни, свойства степенных выражений, преобразование выражений, содержащих степени и корни; показательная функция.
- 11 класс — логарифм как число, показателя степени; логарифмическая функция и её свойства; логарифмические уравнения и неравенства; показательные и логарифмические уравнения.
Таким образом, основной массив темы приходится на 11 класс. В некоторых учебных планах (например, при сжатом курсе математики на базовом уровне) логарифмы могут касаться и 10 класса — там изучается показательная функция, а логарифм вводится как её обратная.
¶Учебники, в которых раскрыта тема
Тема логарифмов традиционно входит в учебники М. И. Баженова и А. Г. Мордковича, используемые в большинстве школ России:
| Учебник | Класс | Раздел |
|---|---|---|
| Алгебра и начала математического анализа, 10–11 (Атанасян, Бутузов и др.) | 11 | «Логарифмическая функция» |
| Алгебра, 9 (Макарычев, Нежков и др.) | 9 | Степень с целым показателем (предпосылки) |
| Алгебра, 11 (Баженов, Мордкович) | 11 | «Логарифмические уравнения и неравенства» |
| Математика, 9 (Виленкин, Жохов) | 9 | Степень с рациональным показателем |
¶Содержание темы
В 11 классе логарифмы изучаются в следующей последовательности:
¶Определение логарифма
Логарифмом числа $a$ по основанию $b$ (где $a>0$, $b>0$, $b \neq 1$) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание $b$, чтобы получить $a$: $\log_b a = c \iff b^c = a$.
¶Логарифмическая функция
Функция $y = \log_b x$ определена при $x > 0$. При $b > 1$ она возрастает, при $0 < b < 1$ — убывает. Основные свойства: $\log_b 1 = 0$, $\log_b b = 1$, $\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$, $\log_b (x/y) = \log_b x - \log_b y$, $\log_b (x^n) = n \log_b x$.
¶Логарифмические уравнения и неравенства
Разбираются типовые формы: $\log_b f(x) = c$, $\log_b f(x) = \log_b g(x)$, а также неравенства, сводящиеся к сравнению значений функции с учётом монотонности.
¶Переход к другому основанию
Формула $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ — один из ключевых инструментов при решении задач.
¶Подготовка к ЕГЭ
Логарифмы — одна из обязательных тем профильного ЕГЭ по математике (профильный уровень, код 0003). В демоверсиях и спецификациях ФИПИ тема «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» присутствует регулярно: в заданиях повышенной и высокой сложности (группы С2, С3), а также в заданиях на преобразование выражений. Базовый ЕГЭ (код 0002) логарифмы не затрагивает.
В школьных контрольных и на ОГЭ по математике (9 класс) логарифмы не входят в обязательный перечень, поскольку тема относится к старшей школе.
¶Распространённые заблуждения
- Логарифмы изучаются в 9 классе — неверно для большинства учебных планов; 9 класс даёт лишь предпосылки (степени с рациональным показателем).
- Логарифмы есть только на профильном уровне — неверно: тема входит и в базовый курс алгебры 11 класса, хотя объём и глубина изучения меньше.
- Логарифм определён для отрицательных чисел — неверно: при вещественных основаниях логарифм определён только для положительных чисел.
¶Практическое значение
Логарифмы применяются в физике (децибелы, шкала Кельвина, кислотность pH), химии, информатике (оценка сложности алгоритмов, логарифмическая шкала в структурах данных), экономике (сложный процент, индексные ряды). В вузовских курсах математического анализа логарифмическая функция служит базой для определения натурального логарифма $\ln x$ и дальнейшего построения дифференциального и интегрального исчислений.
Источники:
- Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (ФГОС ООО), математика
- Примерные рабочие программы по математике 10–11 классов, Министерство просвещения РФ
- Атанасян Л. С. и др. «Алгебра и начала математического анализа, 10–11»
- Баженов М. И., Мордкович А. Г. «Алгебра, 11»
- Спецификация и демоверсии ЕГЭ по математике, ФИПИ