Критерий Сильвестра в линейной алгебре¶

Критерий Сильвестра — теорема линейной алгебры, устанавливающая необходимое и достаточное условие положительной (отрицательной) определённости квадратичной формы и, соответственно, симметричной квадратной матрицы. Критерий назван в честь английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра, сформулировавшего его в середине XIX века. Теорема связывает знак квадратичной формы на ненулевых векторах со знаками угловых миноров её матрицы и широко применяется в анализе, оптимизации, теоретической механике и дифференциальной геометрии.

¶Формулировка

Пусть задана квадратичная форма от \(n\) переменных

\[ Q(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j, \qquad a_{ij} = a_{ji}, \]

и её симметричная матрица \(A = (a_{ij})\). Угловыми (главными) минорами называют определители

\[ \Delta_1 = a_{11}, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \quad \dots, \quad \Delta_n = \det A. \]

Критерий Сильвестра утверждает:

• форма \(Q\) положительно определена (то есть \(Q(x) > 0\) для всех \(x \neq 0\)) тогда и только тогда, когда все угловые миноры строго положительны: \(\Delta_1 > 0, \Delta_2 > 0, \dots, \Delta_n > 0\);
• форма \(Q\) отрицательно определена (\(Q(x) < 0\) при \(x \neq 0\)) тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров чередуются, начиная с отрицательного: \(\Delta_1 < 0, \Delta_2 > 0, \Delta_3 < 0, \dots\), то есть \(\operatorname{sign} \Delta_k = (-1)^k\).

Матрицу, для которой выполнено первое условие, называют положительно определённой (обозначается \(A \succ 0\)); второе условие отвечает отрицательно определённой матрице (\(A \prec 0\)).

¶Связь с собственными значениями

Положительная определённость симметричной матрицы равносильна положительности всех её собственных значений. Этот факт даёт альтернативный (спектральный) критерий, однако вычисление собственных значений, как правило, сложнее, чем вычисление угловых миноров. Именно поэтому критерий Сильвестра остаётся удобным практическим инструментом проверки знакоопределённости без решения характеристического уравнения.

¶Необходимость и достаточность

Теорема даёт полное описание: условия на угловые миноры являются не только достаточными, но и необходимыми. Если хотя бы один угловой минор имеет «неправильный» знак, форма не будет знакоопределённой. При этом важно различать случаи:

• если все \(\Delta_k > 0\) — форма положительно определена;
• если знаки чередуются по правилу \((-1)^k\) — форма отрицательно определена;
• во всех остальных случаях форма не является знакоопределённой (она может быть знакопеременной или полуопределённой).

Отдельно рассматривают полуопределённые формы. Для положительной полуопределённости (\(Q(x) \ge 0\)) критерий Сильвестра в приведённой форме не работает: требуется неотрицательность всех главных миноров, а не только угловых. Это уточнение существенно, поскольку неотрицательность одних угловых миноров ещё не гарантирует полуопределённости.

¶Применение

Критерий Сильвестра используется в нескольких областях.

Математический анализ. Достаточное условие экстремума функции многих переменных формулируется через матрицу Гессе (матрицу вторых производных): если гессиан в стационарной точке положительно определён, точка является локальным минимумом; если отрицательно определён — локальным максимумом. Проверка знакоопределённости гессиана выполняется именно по критерию Сильвестра.

Оптимизация. В задачах выпуклой оптимизации положительная определённость матрицы Гессе гарантирует строгую выпуклость функции, что обеспечивает единственность минимума. В численных методах (например, в методе Ньютона) знакоопределённость гессиана проверяют для контроля сходимости.

Теоретическая механика. Условия устойчивости положения равновесия консервативной системы связаны с положительной определённостью матрицы потенциальной энергии (критерий Лагранжа — Дирихле). Критерий Сильвестра позволяет проверять эти условия напрямую.

Дифференциальная геометрия. Знакоопределённость второй фундаментальной формы поверхности определяет её локальную геометрию: положительная определённость соответствует эллиптической точке, отрицательная — гиперболической.

¶Пример

Рассмотрим матрицу

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}. \]

Угловые миноры: \(\Delta_1 = 2 > 0\), \(\Delta_2 = 2 \cdot 3 - (-1)(-1) = 6 - 1 = 5 > 0\). Оба минора положительны, следовательно, матрица и соответствующая квадратичная форма \(Q = 2x_1^2 - 2x_1 x_2 + 3x_2^2\) положительно определены.

Для матрицы

\[ B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \]

получаем \(\Delta_1 = -1 < 0\), \(\Delta_2 = 4 > 0\); знаки чередуются, значит, форма отрицательно определена.

¶Ограничения и родственные результаты

Критерий Сильвестра применим к симметричным (эрмитовым в комплексном случае) матрицам. Для несимметричных матриц он не используется напрямую, хотя любую квадратичную форму можно привести к симметричному виду. Близкими по смыслу являются критерий Рауса — Гурвица (устойчивость по коэффициентам характеристического полинома), критерий Сильвестра — Гурвица и разложение Холецкого, которое существует тогда и только тогда, когда матрица положительно определена. Последнее даёт ещё один вычислительный способ проверки знакоопределённости, эквивалентный критерию Сильвестра.

¶Источники

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
• Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.