Косинус угла в прямоугольном треугольнике¶

Косинус (от лат. cosinus, сокращение от complementi sinus — «синус дополнения») — тригонометрическая функция, которая в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла α обозначается как cos α и является одной из шести основных тригонометрических функций наряду с синусом, тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом.

¶Определение в прямоугольном треугольнике

Пусть дан прямоугольный треугольник с прямым углом и острым углом α. Сторона, прилежащая к углу α (не являющаяся гипотенузой), называется прилежащим катетом. Гипотенуза — самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла. Тогда:

cos α = прилежащий катет / гипотенуза

Значение косинуса любого острого угла лежит в интервале (0; 1). При α → 0° косинус стремится к единице (прилежащий катет вырождается в гипотенузу), при α → 90° косинус стремится к нулю (прилежащий катет вырождается в точку).

¶Косинус на единичной окружности

При переходе от остроугольных треугольников к произвольным углам косинус определяется через единичную окружность (окружность радиуса 1 с центром в начале системы координат). Угол α откладывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Косинусом угла называется абсцисса (координата x) точки пересечения луча угла с единичной окружностью.

Такое определение позволяет расширить область значений косинуса на все действительные углы: cos α ∈ [−1; 1]. Косинус чётная функция: cos(−α) = cos α. Период функции равен 2π (360°).

¶Основные свойства

• Чётность: cos(−α) = cos α
• Периодичность: cos(α + 2πk) = cos α, где k — целое число
• Дополнительные формулы: cos(90° − α) = sin α; cos(180° − α) = −cos α; cos(180° + α) = −cos α
• Квадратичное тождество: sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество, следствие теоремы Пифагора)
• Сумма и разность: cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
• Двойной угол: cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α
• Формулы приведения: cos(90° + α) = −sin α; cos(270° − α) = −sin α и т. д.

¶Таблица значений

Значения для 30°, 45° и 60° выводятся из свойств равностороннего треугольника и квадрата с диагональю.

¶График функции

График y = cos x — волнистая кривая (косинусоида), симметричная относительно оси ординат (что отражает чётность функции). Максимумы (y = 1) достигаются при x = 2πk, минимумы (y = −1) — при x = π + 2πk. Точки пересечения с осью абсцисс — x = π/2 + πk. График синуса получается из графика косинуса сдвигом вправо на π/2.

¶Связь с другими тригонометрическими функциями

• tan α = sin α / cos α (при cos α ≠ 0)
• cot α = cos α / sin α (при sin α ≠ 0)
• sec α = 1 / cos α (секанс)
• cos α = √(1 − sin²α) с учётом знака в нужном квадранте

¶Применение

Косинус находит широкое применение в математике и смежных дисциплинах:

• Геометрия: вычисление сторон и углов треугольников по теореме косинусов — обобщению теоремы Пифагора на произвольные треугольники: c² = a² + b² − 2ab cos γ, где γ — угол между сторонами a и b.
• Физика: разложение векторов на составляющие, вычисление работы силы (A = F · s · cos α), закон отражения и преломления света, анализ колебательных процессов.
• Астрономия и навигация: определение расстояний и высот небесных тел, решение сферических треугольников.
• Инженерное дело: расчёт нагрузок, анализ сигналов, задачи статики.
• Вычислительная математика: ряды Тейлора и Фурье, в которых косинус выступает базисной функцией: cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + …

¶Историческая справка

Понятие косинуса восходит к индийской математике VI века н. э. Математик Ариабхата ввёл функцию, которую он называл «ardha-jya» (половина хорды), позднее сокращённо «jya». Арабские переводчики переделали это слово в «jiba», которое латинские учёные прочитали как «sinus» (петля, изгиб). Функция косинуса возникла как синус дополнительного угла — отсюда название «complementi sinus», сокращённое до «cosinus». Термин и обозначение «cos» вошли в обиход в XVII–XVIII веках.

Источники:

• Классический курс школьной математики (алгебра и геометрия, раздел тригонометрия)
• «Математический энциклопедический словарь» (М.: Советская энциклопедия)
• История математики: труды по древней и средневековой математике